假分數與帶分數的互換－快樂是自找的

2011年12月5日星期一下午21：10

灌輸總是比引導容易，但是，灌輸只能產生一種想法，引導卻能看到每個人從不同的思考點去切入，只是，教學現場的多變化，需要適時改變教學策略，讓教學目的得以達成。

今天簡單介紹「帶分數」後，開始進行假分數與帶分數的互換，先從假分數換成帶分數開始做起。有些小朋友已經不知道從哪裡學過，所以很快的能說出二分之七等於三又二分之一。不過，我的問題是，能不能用畫圖來解釋這個等式。

解釋意義其實比計算還困難，卻更重要，如果能理解意義，那麼，計算就不是問題了。第一個小朋友畫了四個圓，每個都分兩半，其中塗滿七個半圓表示二分之七，然後點數出三個完整的圓，再加上一個二分之一圓，所以等於三又二分之一。清楚又易懂，大家沒有疑義。

第二個小朋友畫得就讓許多人看不懂了。在二分之七的圖示中，畫的是七個圓圈在一起，其中兩個是實圓、五個是虛圓，大家對於為什麼這張圖會表示二分之七提出許多問題，解釋上，也未能獲得大家共識。這也顯示了離散量要表示這個等式，困難度似乎很高！

接著，要大家用圖示來解釋四又四分之一為什麼等於四分之十七。

由於剛剛用離散量來解釋，讓講解的小朋友吃了不少的苦，所以，這次幾乎都用連續量來解釋。有人用圓形圖，有人用長條圖，都順利過關。

畫圖固然可以解釋，也可以解決問題，不過，要推廣到不能畫圖的時候，才能建立一般式。接下來，我讓學生思考，十七分之八千九百三十二要換成帶分數怎麼辦？顯然，這次要用畫圖解決問題不太容易，要從剛剛那幾張圖中找到解決的規則，才能解決這個問題。

從剛剛的圖上來看，每湊滿分母數就能湊出一，所以，看看它能湊出幾個一。小朋友很快想到這樣的想法，並且聯想到要用除法來解決問題。

除完之後，我們思考「商」和「餘數」代表的意義。「商」是湊滿了幾個17，所以應該是帶分數的整數部分，「餘數」表示湊不滿17而剩下的部分，所以應該是幾個十七分之一。最後，確認帶分數形式。討論過程頗順暢，似乎沒有其他的疑問出來。

接下來，再從帶分數回到假分數，我們思考整數部分和真分數部分的意義。題目是二十七又十六分之十五，當然是無法畫圖解決問題，要從意義去思考，二十七的圓中，每個都可以分割成十六等分，所以有幾個十六分之一要如何去計算？大家很快聯想到乘法，乘完之後，代表有437個十六分之一，這些都是整數部分，也就是二十七分解出來的，可是，原本還有剩下十六分之十五是湊不到一個圓的，裡面也有十五個十六分之一，要加起來才是原數，相加後得到十六分之四百五十二。