2011年9月23日 星期五 下午23：43
星期三，數學課進入「乘法」單元。這單元主要學習的是三位數乘以兩位數，以及四位數乘以兩位數。
為了瞭解學生的先備知識，我在黑板上布題：一本書123元，買6本要多少錢？要小朋友寫算式填充題、直式計算，最後寫答。原本以為是很簡單的一道題目，卻出現了出乎意料之外的解題過程。幾乎全班的算式填充題都寫（ ）÷123＝6，請小朋友上台解釋為何這樣列式，小朋友說，因為之前老師說算式填充題的括弧不能在最後。再問全班，得到的答案是一樣的。看得出來，三年級所學根深柢固，大家都很用功，所以記得牢牢的。可是，算式填充題的括弧真的不能寫在最後嗎？一個簡單的題目，列式成這樣，似乎把數學變複雜了。
我怕是我離開數學教育太久了，所以觀念有所遺漏，所以當天把情況及疑問po在Facebook和Ptt上，詢問大家的看法。
反應還蠻熱烈的，先整理一下學生的回應。
三○○○：我印象中好像真的有此一說ㄝ（我是聽國小二年級的老師說的）他的理由是:寫成這樣乾脆不要寫...
賴○○：因為我們之前列式是以( ) 來代替未知數，他們可能就這樣認為( )代表最後總價錢而把括弧擺在前面吧？就說(總價錢)÷123元＝可以買6本，要算出括號中的數字吧。我記得國小老師有說列有( )的式子，它並不能擺在後面。
楊○○：不是應該列123x6=( )嗎？還是我離國小太遙遠？
三○○○：沒關係沒關係，就算括號不能在右邊也不會怎樣，可以寫成：( )=123*6，他不就在左邊了嗎？所謂的左右好像沒啥意義了...
從學生的回應就知道，的確有此一說，而且這些國中生都牢牢記住，奉為圭臬。但是為何有此一說？說實話，我對於這樣的「規定」還是頭一次聽到。
在Ptt上，網友thepiano的推文說到：「本來很簡單的問題，幹嘛弄得那麼複雜？開學以來上了幾個禮拜的數學，發現現在編課本的這些人，真是讓人搖頭啊，唉！」網友qpzmm回答：「其實若把它看成列國中的一元一次方程式，其實是有用的。( )=答案，但太簡單的問題確實直接想就好。」thepiano：「那就小六在教"怎樣解題"這樣的單元來銜接就可以了。」wush：「明明一個很簡單的問題要搞算式填充題，真的是畫蛇添足。」是啊，簡單的題目還說要列算式填充題，真的是自找麻煩，但是麻煩既然找來了，就要找出真相，究竟這是畫蛇添足，還是協助學生釐清概念？
thepiano：「中年級的學生哪有以某種東西代表未知數的概念啊？」這句話倒是提醒了我，以前的中年級會教到被加數或加數未知的情形嗎？是不是現在的三年級把這個情形加進來的？所以，才有算式填充題的出現？我回覆他說：「所以，我應該說「列式」就好？123*6=( ) 不叫算式填充題嗎？」
thepiano：「您被課本制約了，本來列123*6=738就好了,幹嘛加括號?其實不是只有您,小弟看小女的數習中每題應用題的算式，最後的答案都加個括號,看了只能猛搖頭,不知該說什麼?她說她們老師規定一定要加括號 ......」這時候，我忍不住要為算式填充題講話了，我回答：「加刮號的原因是教學生學習把應用問題變算式，刮號裡面不用填上答案，主要檢驗學生是否能把文字題轉變成數學算式，然後再用直式計算，最後寫上『答：738元』，這是我原本的認知，當應用題轉換列式不是教學重點時，就不需要強調寫成算式填充題了，直接列式就行了，不知道我這樣的想法是否有誤？」
chinching49：「Goe3說的很正確，我再補充一下，當應用題的解題步驟變多時，就要先將多個算式列出，這時的括號就是尚未計算出的答案，算式列出後再去一一計算，才不會將題目算一半就填答，所以才要學生練習加上括號。我猜原PO的題目應該是在孩子以為在上除法單元吧，所以才會出現這樣的算式填充題，這樣的題目應該要列出乘法算式才適合。」雖然這位網友認同我的說法，不過，我上的卻是乘法單元，最後SU28推文說：「算式填充題是建構式數學建構用的，但不宜硬性規定，否則只是讓聰明的孩子裝笨罷了。」這是ptt中最後一句推文，就停止討論了。
在Facebook上，討論還沒停止，大致可以分為幾種說法。
第一種─深得我心型。
「積為未知數，也是算式填充題啊～只是那跟一般的算式一樣，列不列那空格都一樣」
他們的回答跟我的想法大致相同，均認同只要有括弧就算「算式填充題」，不會因為括弧在左或在右邊。
「我認為那是為了算式而算。其實，多數的小朋友在生活經驗中應能知道123x6即可得到解。只是那個括號的原則限制住了孩子的思考。我認為不妥就是。」
「不要讓孩子在計算前被原則框住了。其實他們能夠解釋即可。況且，也非一定要列式。」
「算式填充題的括弧不能在最後,無此一說; 算式填充題應是依題型的意思列式,例如題型:買6本作業簿花了126元,一本書多少錢?( 作業簿 )*買6本=總共花126元 ( )*6=126 直式則為126÷6 小孩把這種題型和你佈的題型想法混了」
第二種─這不是算式填充型
這一型則是堅決不認同括弧在右邊也叫算式填充題。
「對於數學的布題~你必須要把()放在等號前面的布題才有意義...那種題型才叫做算式填充題...所以孩子的概念並沒有錯~而你題目所欲求的..只是123*6=() 那只是依題意列出式子...並不是算式填充題....
..」
「最後這個() 有跟沒有的價值是一樣的，好比以往在還沒教算式填充式時，只教解題，題目問一瓶飲料十元，兩瓶多少錢。孩子會回答你 20 ，怎麼算？就10*2，所以等於20，那麼，這樣的過程，有算式填充題的意味嗎？是沒有的。」
這是我第一個納悶的點，因為()在等號右邊的時候，有跟沒有是一樣的，所以那不能叫做算式填充題？在考卷上，如果我們出一道填充題是「新竹市的舊地名是( )」，因為()在最後面，就不叫做填充題了嗎？我們就會說這是一道簡答題嗎？
「所謂的算式填充題有那種感覺，你知道結果(總數)，但前面的條件有一個不知道，所以必須用算式填充題來將式子原意列出，然後利用解題的技巧，將答案算出來，等於說算式填充題並非一步驟問題。」這點是同意的，三年級在教算式填充題時，就是為了解決被加數或加數未知的情形。但是，到了四年級，當算式填充題的名詞又被我帶出來時，為何反而讓題目轉換數學算式出現了錯誤？布了一個簡單的題目，如果因為老師說要「列式」或是「列算式填充題」就出現不同的解題策略，豈不代表「算式填充題」已經出現了矛盾？
一本書要123元，買6本書要多少元？如果要小朋友列式，他能正確地列出「123*6=」，但是要小朋友列出算式填充題，他會寫出「( )÷6=123」。這樣的矛盾該如何解決？
「並非加上()就叫算式填充題，算式填充題的()是不可省略的...」
這是第二個納悶的點，誰定義算式填充題的()不可以省略？定義這一點的目的是什麼？當括弧在等號右邊的時候，的確括弧可以省略了，不過，當學生列了兩次這樣的算式填充題時，自然就會發現，括弧有跟沒有是一樣的，何須規定？積為未知的算式填充題，的確沒有必要。可是，「之前的老師說，算式填充題不能把括弧放到最後面」，這個「原則」，是不是反而讓學生尋求了困難的列式方法？遇到簡單的題目，他因為這個「原則」不能按照心意去列出算式填充題，這有助於理解應用問題嗎？
隔天，資優班數學老師看到我在facebook的討論串，也來跟我提了幾點，她認為小朋友並沒有正確理解題意，所以才會錯誤列式。我應該要加強他們對於文字題和列式之間的連結與轉換。如果只有一半這樣列式，或許是理解與轉換的問題，但是全班都這樣列式，恐怕已經受到括弧不能在後面的「原則」控制住了。我問，高年級教未知數的時候，如果沒有限制未知數不能在右邊，是否會有教學困難？黃老師說，因為未知數的單元中，布題都很容易，學生自然就會寫出答案，而沒有把未知數列出來，例如：「小明帶錢去買菜，花了423元，剩下177元，請問小明帶了多少錢？」小朋友很聰明，直接就會寫出「423+177=」，何必需要用到未知數？
老師為了要教未知數，硬是要小朋友寫出未知數，小朋友可能就會寫出423+177=x的式子，接著，為了讓小朋友寫出x-423=177的式子，所以老師可能又會規定未知數不能列在等號右邊，就像是三年級規定算式填充題的括弧不能在右邊一樣。終於，在層層規定之下，小朋友開始練習列出未知數在左邊的式子了。
當然，這只是猜測這樣規定產生的原因，但是，如果真是如此，似乎未臻理想，因為數學的邏輯在這過程中，並未順應建立，只是配合產生。要讓小朋友列出括弧在左邊的式子，是否能增加文字題的複雜度？使得需求性產生了，直接列式無法解決問題，所以必須把括弧抬出來，而當括弧抬出來的時候，一定會在左邊，因為在右邊可以直接解題，這時候，小朋友把括弧放在左邊是「有需求性」，而不是「老師規定」。
資優班老師的作法是加強學生對於題意的理解，依照題目的敘述來列式，這應該也是一個不錯的做法。順著題意，將文字轉換成數學符號，轉換完成後才開始進行解題。
第三種─這也行那也行型。
「都沒錯吧！因為這題目本身就不太需要用到算式填充題，要用也是可以啦～～本人覺得列算式填充是很無聊的事...」
第四種─中肯型
「不管是"算式填充題"還是"算式"都是數學語言 只不過"算式填充題"更直觀罷了 有些"算式"其實就是"算式填充題" 例如你的布題 有些"算式"已經經過解題思維了 10年前出現的名詞"算式填充題"把大家搞混了」
討論串其實很長，不過，今天我到圖書館找書來看時，看到了書本上明確的敘述，就不須再討論了。
師大書苑出版，林碧珍教授等合編的「整數乘法替代性教材教法之理論與實務」中，有幾段都有提到。第59頁說明了算式跟算式填充題的不同。
算式，如：5*4＝20，是一種解題記錄，而算式填充題是一種問題記錄，也是學童理解文字題後的解題計畫，例如5*4＝（ ）是算式填充題的紀錄格式。（ ）是表示預備要求出的答案。乘法算式填充題的引入是比乘法算式記錄的引入為慢，因為學童必須要有多一些解題紀錄，才能在未解題前，意識到這樣的文字題是一種乘法問題，而以乘法算式表徵問題記錄。
算式填充題既然作為一種解題前的問題記錄或解題計畫，所以等號右邊的括號，在學童解題後，並不需要將答案填入。既然算式填充題是問題記錄，因此算式填充題會因未知數未至的不同而有各種類型，例如：「一盤有5個蘋果，需要幾盤的蘋果，才會有30顆蘋果？請用有乘號的算式填充題紀錄問題」，這個題目的算式填充題應記錄為5*（ ）＝30，而非30÷5＝（ ）。
第71頁寫到了乘法格式紀錄的發展。
在學童了解乘法算式的意義，並能將十十乘法表現為乘法的基本事實之後，需要幫助學童發展出更有效率的解題策略，以解決較複雜的乘法問題，因為學童到了第二階段需要解決被乘數或乘數是二位數的乘法問題。例如：今年的兒童節，溫溫小學速給一年甲班的32學童每人一個24元的玩具小熊，請問共需要多少元？
當學童以乘法算式填充題24*32=( )記錄問題之後，可以透過又十倍的解題策略或乘法對加法的分配律，來提升學童的解題策略。
所以，算式填充題不是到了要解決被加數或加數未知的情況才可以用，在這之前，老師就可以用它來教學生記錄問題。
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