快樂是自找的

五年級上學期的課程，是數學奠基模組量產的範圍，許多精采的模組，都可以在課堂上使用，尤其是因數與倍數的單元，八成都可以用模組進教室，讓學生玩得開心，又能學到有意義的數學。

數戰棋是臺師大數學教育中心的數學奠基第二期的模組，由胡哲瑋老師設計，總是讓學生玩到不可自拔，卻是我第一次改編放到正式課程中進行，雖然進行了三節課，卻囊括了許多重要概念，一邊了解遊戲怎麼玩，一邊又把數學概念建立起來，相當值得。

課程一開始，當然先作者介紹一下，班上有幾位是哲瑋的學生，不禁拍手了起來，真有趣。接著，每人一面棋盤，開始學習這遊戲怎麼玩。

遊戲規則是棋子每次可以往前移動一排，但只能走到它的倍數位置。於是，白棋2要往前移動，有哪些選擇？學生很自然地提出2、4、6、8、10都可以走。於是，動畫將白棋2移動到6。

「白棋走對了嗎？」
「對了。」
「6是2的倍數嗎？」
「是」
「怎麼證明6是2的倍數？」
「因為2乘以3等於6」
「這樣的話，2的3倍是6，的確6是2的倍數，還有別的算式可以證明嗎？」
「因為6除以2等於3」
「從這兩個算式，我們可以知道6是2的倍數，還知道什麼？回想看看，上個禮拜的因數，也能從這算式中也能看到嗎？」
「2和3是6的因數」

當然真實的課堂，沒有上述的順暢，從開放式問句到明示暗示才能夠講得完整。畢竟，「A是B的倍數」和「A是B的因數」，對於有些學生來說，始終搞不懂這兩句話在幹嘛，於是，和學生提問、回答，前前後後示範了四次：「黑棋5選擇了95，請證明黑棋5的確走在它的倍數上，可以用哪兩個算式證明，這兩個算式又能知道什麼其他訊息？」

棋子繼續往前走，當白棋2走到60時，黑棋3發現，它往前一行，也能走到60，這時候，黑棋3就可以把白棋2吃掉。

接著示範棋總是要走到抉擇時刻，讓孩子思考一下，就像是象棋的殘局，總是能刺激許多的想法。當棋盤下到這個時候，黑棋3有三個選擇，你會選哪一個？為什麼？

原本數戰棋的規則是有無敵星星，但我的課堂重點希望放在學生能將十個數字都出動，於是更動了獲勝條件，只要攻入對方陣營第一排，就算一分，不能回頭再用這枚棋子，而是要想辦法，讓每顆棋子都能攻到對岸，達陣最多棋子者獲勝。

規則到此結束，讓學生進行十分鐘的試玩。

第一場通常玩不完，但是也發現一些待解決的問題。棋盤中，白棋會從1到10開始往前走，比較好判斷倍數，黑棋會從91到100開始往前走，數字很大，倍數較難判斷。於是，大數字怎麼判斷是不是倍數，成為第一個問題。

學生第一個想到的還是乘法，我怎麼知道81到90之間，哪些數字是4的倍數，就乘乘看，4的幾倍會在81和90之間。有些學生還很有毅力的，從4、8、12、16、20、24、28、32......一路找到92，在把區間範圍內的圈出來。

有趣的是，我試著放個階梯，要他們想想看，至少要80以上，我怎麼知道4的幾倍會到80以上，是不是用除法可以幫助我們？
學生居然回答：「除法還不是用乘法去算的。」
有點佩服。
於是，我們轉而思考，有沒有可能找到規律，不用乘法除法就可以判斷的方法。

每人拿到4張百數表，用螢光筆在第一張百數表找出2的倍數，然後觀察看看有什麼相同點。

2的倍數判別法顯然很容易找，學生一下就說出偶數都是，藉由PPT的配色，刻意把各位數字是2的都用同一個顏色，讓學生發現有2系列、4系列、6系列、8系列、0系列，同一系列的個位數字都相同，只要看個位數字，就可以不用乘法或除法，就能判斷哪些是2的倍數了。

5的倍數也是同樣的方式，學生更快能找到5系列和0系列。

10的倍數也很快。只是有意思的地方，是有些學生不是寫「個位數字」是0都是10的倍數，而是寫「尾數」是0都是10的倍數。上網查了一下，尾數還真的是生活用語，身分證字號尾數是2、4、6、8、0的可以在星期幾買口罩、身分證字號尾數是3的小人國免費......。

不過，在數學上，尾數畢竟是個專有名詞，還是修了一下小朋友的用語。

最後看3的倍數，學生拿到的第四張百數表有些不同，把10那一排移到最左邊了，這主要是因為兩年前的班級，在看3的倍數規律時，總覺得10那一排的位置放到最左邊比較整齊，所以，這次乾脆就幫小朋友移過去。

小朋友剛開始塗完3的倍數時，提出來的是「沒有規律」，頂多說是斜的，但是看到PPT上，刻意用顏色區別後，開始有人提出了「規律」。

「它的系列是斜的。」
「3系列的個位數字是3、2、1、0，十位數字是1、2、3」
「6系列也有，個位數字是6、5、4、3、2、1......」
「9系列也有......」
我可以確定，全班都沒有超前學習，真的一點一點的朝3的倍數判別法前進，而沒有暴衝。於是，需要一些提示。
「個位和十位合起來呢？」
「3系列的十位數字加個位數字都是3」
「6系列的十位數字加個位數字都是6」
「9系列的十位數字加個位數字都是9」

「那39這一斜排也有規律嗎？」
「加起來都是12」
「所以這是12系列，那69這一排呢？」
「加起來都是15」
「15系列接下來呢？」
「18系列」
「3系列、6系列、9系列、12系列、15系列、18系列，這些數字有什麼相同點？」
「都是3的倍數」
於是，3的倍數判別法也找到規律了。

不過，如果目標是不要乘法和除法，就可以判斷是不是3的倍數，顯然每一個位數加起來的數字比較大的時候，就還是要用到除法了，所以，有沒有可能再歸類。於是12系列的12，在3系列出現過，也可以歸類到3系列去；15系列的15，把十位數字和個位數字再加一次，就變成6系列；18系列的18，也就歸類到9系列去了。經過多次的每一位數相加，最後都會變成3、6、9那就是3的倍數了。如此一來，還真的靠加法就可以判斷了。

不過，那畢竟是找到規律，卻還不知道為什麼。於是，還是要靠積木來思考。每湊滿3個積木的時候，就會是3的倍數，因為這樣不會有餘數。但是，10就會湊完3之後，留下1個積木；20，就是2個10，湊完之後會留下2個積木。

100也是把3個積木湊成一組，到最後會剩下1個；200則是2個100，湊完3之後，會剩下2。

那麼141呢？那就是1個100、4個10、1個1，湊3之後，100就會剩下1個積木，4個10就會剩下4個積木，再加上1個積木，不就是每一位數相加，看看是不是3的倍數，如果是，就代表又可以湊3湊滿，沒有餘數了。在這段演示過程，聽到小朋友「哦~~」的一聲，真是世界上最美妙的聲音了。

接著，當然就是再玩第二場，用剛學到的倍數判別法，2、3、5、10就不會走得戰戰兢兢的了。還有小朋友用更多的百數法，去找4、6、7、8、9的規律，準備好好用數學知識跟同學玩一場了呢！