快樂是自找的

體育活動裡的數學，不能只是紙上談兵，既然要認識籃球場上的命中率，何不真的測試看看自己的命中率有多少？

這一堂課，我們先在教室說明紀錄方式。兩人一組，輪流當對方的投籃記錄員，如果投進就記下○，沒投進就記下╳，看看三分鐘的時間，你的「命中數」、「出手數」、「不中數」分別會是多少。

「選擇記錄方式」是這堂課在備課時，一個很重要的點。因為「比率」這個單元，重點就在於「部分」與「整體」的關係，如何讓學生有感的接收到這個訊息，記錄方式似乎就有不同考量。

如果選擇在「命中數」、「出手數」、「不中數」的格子裡，直接用正字記號劃記。每次選手出手，記錄員就要在兩格裡面裡劃記一筆，可能是「命中數」與「出手數」各加一，也可能是「不中數」與「出手數」各加一，那麼，記錄員會一直看到三個不同的統計項目在增加，未能看到「部分」與「整體」的關係。

但是如果選擇每投一球，就用○或╳表示進球或不進球，雖然最後記錄員要點數幾個○和幾個╳。但此時，他看到的投籃紀錄是○╳╳○○○╳○╳╳╳，能直接看見出手數就是○的個數與╳的「個數和」，而○和╳都是「部分」，出手數是「整體」。

為了凸顯「部分」與「整體」的關係，我選擇了後者的紀錄方式。

到了籃球場上。一個籃球架下，有六個人同時投籃，另外六個人負責記錄，一對一的將對方的投籃過程記錄下來。投籃時，每人先拿一顆籃球，在一分鐘之內盡量投籃，丟出去的球，如果撿回來不是自己的球也可以丟，不需要分清楚眼前的球，原本是誰拿的，以減少兩人都說這是他的球的紛爭。不過，不能去抄球跟蓋火鍋。

會設計讓學生同時出手，而非每人投10球的限額，一方面是節省時間，另一方面也是希望每個人的出手數會不同，可以製造更多的例子，以利之後發現更多數學想法。真正的籃球比賽其實也是這樣，不會每個選手的出手數都相同。

我們共進行兩回合，第一回合是一分鐘投籃，第二回合是三分鐘投籃。讓每人都有兩個投籃紀錄，也就是每人都製造了兩個例子。回去之後，一組就可以有八個例子去觀察了。

統計完畢後，直接帶回教室，開始從籃球統計表去發現更多數學。

「我們來找找投進最多球的人是誰？」很快就找到K投進22球，C、H、L都是投進14球。於是，把C、H、L的投籃紀錄表貼在黑板上。

我：「C、H、L都投進了14球，所以三個人一樣準，對嗎？」

生1：「不對，他們的出手數不一樣。」

我：「那麼，你覺得誰最準？」

生1：「要比命中率。」

師：「命中率是什麼？」

生1：「出手數分之命中數。」

師：「這樣的話，C的命中率是多少？」

生2：「14/34。」

師：「H的命中率是多少？」

生3：「14/26。」

師：「L的命中率是多少？」

生4：「14/32。」

師：「這樣可以比了嗎？」

生5：「可以，因為他們分子相同，所以分母越小，值就越大。H的命中率最高。」

用分數表示比率，是最基本的概念，這同時看到了部分與整體的原始數據。不過，如果要引入小數表示比率，要增加一些需求。

師：「那麼，H跟K呢？你可以判斷誰最準嗎？」

生2：「K，因為K投進了22球，H只投進了14球。」

生3：「可是他們的出手次數又不一樣。」

生2：「K比較準，因為K多投進了8球，可是只多出手了10次。」

真是令人驚豔的說法，可惜只有生2自己懂，其他人都紛紛表示不懂，於是尋求其他想法。

生5：「不能只比命中數，還要比出手次數。」

師：「怎麼一次比兩個數。」

生6：「要比命中率。」

師：「他們的命中率分別是多少？」

生6：「H是14/26，K是22/36。」

師：「可以比誰的命中率高了嗎？」

生6：「可以，用通分。」

師：「這兩個分數，容不容易通分？」

生6：「不容易。」

師：「有沒有其他方法比較？」

一陣寂靜。

那是

思考的空間

師：「有可能把分數換成小數來比較嗎？」

生7：「可以。」

師：「14/26怎麼換成小數？」

生7：「14/26=14÷26」

師：「計算看看是多少？因為時間有限，計算到小數點下第二位就好了。」

生8：「0.53」

師：「那22/36換成小數呢？」

生8：「0.61」

師：「現在可以比較誰的命中率高了嗎？」

生8：「K」

兩種比率表示法，就在兩種比較情境中產生，再直接連接到「百分率」與「成」，一次把四種命中率都呈現。只是，後兩個要學生說出來，經驗還不足，於是帶點故事性的跟小朋友談。

H的命中率是14/26≈0.53，再換成分數的時候就變成53/100，這就是把「14球在26球的比率」，大約會等於「53球在100球的比率」，英文會說「53 per 100」；K的命中率是22/36≈0.61，就會說K的命中率「61 per 100」。久了之後，數學家就發明了一個符號，把per 100簡化成℅。於是，「命中率」有了第三種紀錄方式，那就是 53℅ 和61℅，分別稱為「百分之五十三」和「百分之六十一」。

「14球在26球的比率」，大約會等於「53球在100球的比率」，那麼會等於多少球在10球的比率呢？

53/100等於5.3/10

這時候，就是把10分當作滿分，H投進球的比率是5.3/10，我們就稱為「五成三」的命中率；同樣的，61/100=6.1/10，把10分當滿分的話，K投進球的比率是6.1/10，我們就稱為「六成一」的命中率。

一個投籃紀錄，我們有四種命中率的紀錄方式。下一堂課，我們開始彙整成小組紀錄單，將同一組的四個人、八個例子，彙整到一張單子上。為了更容易發現數學想法，彙整時的排序也很重要，我詢問學生，要怎麼排序？「依照號碼排序」這是學生最直接想到的，除此之外，還可以怎麼排？「依投進球數」、「依命中率」、「依不進球數」等等，這些都蠻好，由學生投票決定，大家依照進球數排列。

小組彙整單上，有了同組的每個人投籃紀錄了，接下來，就請觀察，你發現了什麼數學想法？這也是最精采的部分，將看到學生突破教科書的框架，發現比教學目標更多、更迷人的數學。

【數學想法1】「命中率」加上「不命中率」等於100%或1

這個數學想法會是第一個拉出來討論，主要是因為這也是教科書第一個要小朋友發現的，只是教科書上是一個例子，這裡則是有八個例子佐證。

【數學想法2】除了可以「除盡」的數加起來是100%，其他「除不盡」的數加起來都是99%

教科書討論「比率和」，數字都安排得很好，一定是剛剛好是100%，但是真實情況沒有那麼美妙，學生的命中率常常是除不盡的，因此，我們都只算到小數點下第二位，後面先不處理，如此一來，「比率和」就不會是100%了，學生發現，都是99%。詢問學生為什麼會這樣？

學生說：「因為後面還有小數位數，只是我們都沒有拿來加。」

這部分，讓學生經驗的是「無條件捨去到百分位後，比率和會小於100%」，再學生提出的數學想法中，我們自然就討論到這部分。

【數學想法3】小數換百分率

可以歸類到這部分的數學想法有三種，說法不太一樣，但是都值得全班一起欣賞。一種是發現將小數點往右移兩位；一種是發現小數乘以100倍。這兩種放在一起的時候，正好複習乘以100就是小數點往右移兩位。第三種說法也蠻有意思的，他發現命中率0.5，要換成百分率的時候，還要補個0，變成0.50，然後再移兩位變成50%。這些數學想法，如果變成「公式」或者「規則」來背誦的話，數學就變得很難懂無趣，但是學生自己發現，並且從小組彙整單提出例子去佐證自己的想法正確，強化自己的說理，課堂就相當精采。

【數學想法4】百分率換小數

小數點往左兩個位數，就是百分率換成小數了。跟【數學想法3】逆向回去，一正一逆，剛好補齊。

【數學想法5】小數換「成」

命中率0.3，我們都習慣說「三成命中率」，命中率0.23，我們就說「兩成三命中率」。從小數換成「成」，學生也發現一些規律，一位小數就直接說幾成，兩位小數則會把「成」這個字，放在十分位和百分位之間。這個發現，也可以強化大家對於這個說法的印象。至於「成」，在後面的買賣問題時，也會出現。「一成服務費」、「成本價加三成變成定價」，都可以先熟悉以「十成」為整體的比率說法。

【數學想法6】知道「出手數」和「命中數」，就可以算「不命中數」

有時候，數學成績不突出的小孩，在觀察數學想法時，反而更直覺，甚至更精彩，只是表達沒那麼清楚，我們釐清一下，大家都會很驚訝，沒想到他提出來的，是很厲害的數學想法。

這學生提出的是從「命中率」去算「不命中率」，因為命中率是「命中數/出手數」，這時候不需要蒐集「不命中數」有多少，只要「出手數-命中數」就可以變成「沒進球數」，再用這數字去除以「命中數」，就可以算「不命中率」了。這也告訴我們，題目沒告訴我們的資訊，其實我們可以算出來的。

【數學想法7】「命中數」是「出手數」的一半，命中率就是50%，且「命中率」和「不命中率」會一樣。

相較於數學成績不突出的小孩，這位數學成績數一數二的學生，提出的反而不像前一個令人驚豔，但是可以追問，如果「部分」有四個選項，每個選項的比率都一樣的話，會是多少？如果「部分」有十個選項呢？讓這個數學想法可以賦予更多功能。

【數學想法8】進球數多，命中率不一定高

這是當初排序的時候，希望最直覺發現的，學生果然有發現，而且是不同程度都寫得出來，可見這是低地板的活動。只是因為在比率單元中，這想法相較之下重要性低，所以最後帶過。

八個數學想法，從學生的筆下寫出來，討論起來，讓「比率」可以深入且深刻。