這次的數學課，遊戲成分較少，探究成分較重，我們要從摺便條紙中，發現分數的分數倍，有哪些奧秘在。
每個小朋友拿到七張便條紙，以及七個任務，要將任務一一用便條紙摺出來，並且標示出來，然後列出算式，以及標示出來的答案。
一開始，老師自然要示範一次。任務一是「1/2張紙的1/4(倍)」，要找出1/2張紙再平分成四份後，會是幾張便條紙。首先，我們先將「寬」對折成2份，其中的1份就是1/2張紙了，用「正斜線」標示出來1/2張紙的範圍。接著，它的1/4是多少？就要「再」平分成4等份，於是，我將「長」對折再對折，打開來一看，「正斜線」標示出來的地方，就被平分成四份了，取其中的一份畫上「反斜線」。「正斜線」和「反斜線」重疊的地方，就是「1/2張紙的1/4(倍)」了。
接著，用算式記錄下來，「1/2張紙的1/4倍」就是「1/2×1/4」，答案從圖上可以看到，等於1/8。以此類推，完成剩下的六個任務吧！
七個任務中，前四個任務算是一組的，被乘數都是「1/2張紙」，乘數分別是1/4倍、2/4倍、3/4被以及1又1/4倍。
學生第一個提出困惑點是在任務四，也就是1/2張紙的「1又/4倍」，有學生說，需要「兩張」便條紙。因為「1又1/4倍」是「1倍」加上「1/4倍」，所以「第一張便條紙」要做「1/2張紙的1倍」；「第二張便條紙」要做「1/2張紙的1/4倍」。這在活動一（帶分數的整數倍）時很重要，要強調「帶分數」就是「整數」和「真分數」的混合數，中間省略了「加號」，因此，「帶分數」=「整數」+「真分數」，然後用分配律去解決，到了現在的活動三，顯然印象深刻，對於帶分數倍，就會思考先分解成「整數」和「真分數」，然後用分配律去解決。
不過，有趣的是，沒多久後，又有學生提出不同的看法。「老師，不需要啊，用一張便條紙就可以解決了。」提出這種看法的有兩種學生，第一種是「先學會計算」的，知道「分數乘以帶分數」，可以先換成「分數乘以假分數」，然後用「分母乘以分母、分子乘以分子」計算出答案，接著再去摺出符合答案的圖形。這種學生暫時不理會，因為即使要他說，他也只會說，我是用算的，但是八分之五在圖形上是怎麼來的，卻是一個字都吐不出來。
另一種學生，則是先摺出八等份，上半部有四等份、下半部有四等份。然後指出上半部的四等份合起來，就是1/2張紙的1倍；下半部的四等份，其中一份就是1/2張紙的1/4倍。合起來就是1/2張紙的1又1/4倍，從圖上看來就是5/8張紙。
這個想法拋出來的時候，讓需要兩張便條紙才能摺出「1/2張紙的1又1/4倍」的人震驚不已。
【數學想法：分母×分母=新分母；分子×分子=新分子】
很快的，就有人發現答案的分母就是兩個分數的分母相乘；分子就是兩個分數的分子相乘。
甚至有人很好玩的，提到中間的分數線就像是圍牆一樣，分子和分子打、分母和分母打，不理對方。
【數學想法：可以先約分，再互乘】
不過分母和分子都不理對方，在任務二出現了特例。1/2張紙的2/4倍，可以先把2/4倍約分成1/2倍，就變成1/2張紙的1/2倍，每份都只要再平分2份就可以了，畫出來的答案是1/4張紙，跟沒有約分所畫出來的2/8張紙是一樣大的。
【數學想法：斜約分】
有兩種作法的，也出現在任務五：3/4張紙的1/3倍。大部分的學生都是將一張便條紙的「寬」平分成4份，畫出其中的3份；接著，將「長」平分成3份，畫出其中的1份。寫成算式就是3/4×1/3=3/12。
還有其它種畫法嗎？
有個小孩到黑板上畫出他的想法，先將一張紙平分成四份，用正斜線標出其中三份，這就是3/4張紙，接著沒有再平分，而是將其中一份用反斜線標出來，說這就是答案了。
小孩要能有這個想法，勢必對於「3/4就是3個1/4」已經相當熟稔，然後對於「1/3倍」就是「平分成3份，其中的1份」也能理解了。因此要將3/4平分成3份時，就會想到3個1/4並不需要再把每份都平分成3份，而是直接把現有的3個1/4去平分成3份。寫成算式就變成3/4×1/3=1/4。
學生覺得有趣，答案居然不需要計算就出來了。3/4×1/3=3/12。怎麼便條紙上，看不到3/12呢？
老師此時必然要介入，告訴他在做的是什麼事情。將「3個1/4直接平分成3份」，也就是「被乘數」的「分子3」拿去除以「乘數」的「分母3」，前者的3是數量，代表1/4的數量；後者的3是動作，代表要再平分成3份。將「分子3」和「分母3」同時除以3，就像進行了約分一般。再度打破了「分子和分子打、分母和分母打，不理對方」的說法。我脫口而出的說，他在做的是「斜約分」，也就是「被乘數」的「分子」和「乘數」的「分母」在約分。有意思的是，沒想到脫口而出的「斜約分」，令學生感到相當有興趣，包括已經先學過「分數乘以分數」的小朋友，也像是發現新大陸一般的驚奇。至於上台畫圖的小朋友，也脫口而出的「哦~~~~~~~」，原來這個分紙的動作，在算式上是在做「斜約分」呀！
於是，任務六：3/4張紙的2/3倍。我們可以有了另一種畫法，那就是將「3個1/4」直接標出「其中2份」，那就是「3/4張紙的2/3倍」了。在算式上，就是3/4×2/3。「被乘數」的「分子3」和「乘數」的「分母3」進行約分，就都變成了1，表示不需要再分割；此時「被乘數」的「分母4」也和「乘數」的「分子2」進行約分，就像將畫出來的「2/4張紙」約成了「1/2張紙」。「斜約分」的具體心像油然而生。
【數學想法：分數乘法的交換律】
任務六：3/4張紙的2/3(倍)。任務七：2/3張紙的3/4(倍)。這兩個任務，顯然是希望學生發現列式雖然不同，圖像分割的方向雖然不同，但是，結果都是6/12張紙。
在便條紙上，無論是先「平分成4份」，再「將每一份平分成3份」；或是先「平分成3份」，再「將每一份平分成4份」，結果都是分成12份。至於正斜線和反斜線重疊的區域，一個是3×2份，另一個是2×3份，就像是橫排變成直排，因此答案都會一樣。
在這裡，我們發現了「分數乘以分數」也有交換律，發現的方式不只是從運算答案相同，更從圖像觀察而來。我們也不是因為「整數乘以整數」有交換律，就自然的認定「分數乘以分數」也有交換律。
【數學想法：小於1倍的都有加括號】
這也是當初安排的小細節，任務一到任務七幾乎都是「真分數倍」，任務名稱的「倍」都會加上括號，像是「1/2張紙的1/4(倍)」、「1/2張紙的2/4(倍)」、「1/2張紙的3/4(倍)」。表示這些句子中，「倍」這個可以省略。我們可以說「1/2張紙的1/4」，也可以說「1/2張紙的1/4倍」，這部分是從「鑽石爭奪戰」 (https://goechu.pixnet.net/blog/post/462545339 )，也就是「整數的分數倍」時，就開始讓小朋友熟悉的。因為「沒有單位」的分數，總會製造小朋友混淆，不知道單位是什麼，就會拿來做加減。最明顯的例子是：「一條緞帶長2公尺，用掉全部的2/3，就是用掉了幾公尺？」在這問題中，2/3是沒有單位的，我們可以加上「倍」這個字，幫助釐清題意。「一條緞帶長2公尺，用掉全部的2/3倍，就是用掉了幾公尺？」因為只要是問幾倍，就可以連結到乘(除)法列式。
當然，「用掉」兩個字也要澄清題意，不要看到「用掉」就用減的。
至於七個任務中，唯獨「任務四」是「1又1/4倍」，這裡的「倍」就沒有用括號括起來。因為，習慣上，只要是1以上的「倍」，用語就不會省略，所以任務四的「倍」就沒有加上括號。在小朋友的數學想法中，提出這個文字上的發現，正好也是加強印象，對於沒有單位的分數，可以加上「倍」來幫助乘法列式。
【數學想法：被乘數和積的關係】
學生寫的是「分數乘以分數後，答案不一定比被乘數大」這個敘述倒是不如前兩年在花蓮進行「鑽石爭奪戰」 (https://goechu.pixnet.net/blog/post/462545339 )時，花蓮孩子寫出來的數學想法完整。不過，已經可以提出來討論，如何修得更完整了。
一般課本的關係式都會這樣寫「乘數<1時，被乘數<積」。這樣的關係式很數學語言，對於後段學生來說，距離較遠，因此，我通常都會帶學生討論的結論是「乘數<1時，被乘數會越乘越小。」另外兩個關係式，全班討論時也能依序提出「乘數=1時，被乘數會不變」、「乘數>1時，被乘數會越乘越大。」
不過，有個學生寫的數學想法也有意思，針對「乘數<1時，被乘數會越乘越小。」提出他的發現。他說：「我在這些算式中，我發現為什麼會越乘越小？因為一張紙先分2半，『再』用其中一份分成四片。」特別把『再』圈了好幾圈，並且畫圖表示，所以當然會越乘越小，很有意思，也能確認他進入數學思考的世界了。
【數學迷思：分母不一樣的時候，要先變成一樣。】
總是有些學生，牢牢記住某些規則，因為可以解題，就不願意去思考為什麼，最後，就會張冠李戴。「異分母分數的加減」，我都不會說「分母不一樣的時候，要先變成一樣」，就是怕「分數乘以分數」的時候會混淆。不過，資訊來源多面向的小孩，總是有人死守信條，終究誤入歧途，所以，他的習作變成了這樣。
於是，針對這個迷思，還是做了一些討論，要澄清分數的加減，異分母分數為何要變成一樣；分數的乘法，異分母分數為何不需要變一樣。
在「異分母分數的加減」時，我們從「分數是單位分數的累加」切入，3/4+2/5無法直接加的原因，是因為一邊是3個1/4；一邊是2個1/5，合起來是5個1/4嗎？當然不對！是5個1/5嗎？當然也不對！就好像3個梭德氏赤蛙和5個大頭蛙，合起來是8個梭德氏赤蛙，你一定會說「不對！」兩數要能相加，單位要相同，轉換成3個青蛙和5個青蛙，合起來就是8個青蛙，那就可以相加了；3個1/4和2個1/5也是一樣，單位不同，自然無法相加，需要找到一個公分母，轉換成15個1/20和8個1/20之後才能進行加減。
不過，分數的乘法不一樣，因為乘法本來就不會單位相同。被乘數的單位可能是「張」或是「顆」，乘數就是「倍」，可「2張紙」乘以「5倍」；可以是「每盒3顆」乘以「6盒」。但是，不會有「5張」乘以「3張」的問題出現。分數乘以分數，被乘數是做「第一次平分」及「取範圍」，乘數是做「第二次平分」及「取範圍」，沒有涉及到「單位相同才能加減」的問題，所以，不需要換成相同的分母。
有意思的是，有個容易靈魂出竅的小朋友，她的數學日記就寫，8/8+10/10是可以加的，5/6也可以直接加1變成帶分數。在這個充滿數學討論的課堂中，他無但沒有靈魂出竅，居然繼續提出想法，想要澄清討論，真是太有意思了。
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