在玩完長方形數（ https://www.youtube.com/watch?v=V7tBWcTTP9U ）後，我們班為只能排出一條線或一個點的數取名叫做「不四數」（不能排出四邊形數的數）、「不好數」、「怪怪的數」、「黑數」（讓那個人黑掉了）、「線點數」，這就是數學家的「質數」和「1」；可以排出長方形或正方形的數就叫做「四數」、「好數」、「正常的數」（全班討論時改成正長數，可以排出正方形或長方形的數）、「大數」（那個人很大方地數）、「方形數」，這就是數學家的合數，從算式來看，都能找到1和自己以外的數去合成它。
既然合數，都可以分解，分解出來的數就是質數了嗎？8=2×4，將8做「因數分解」時，分解出來的2是質數，但4不是，4還可以再分解，於是8=2×4=2×2×2，這時才是不能再分解了。當8分解成2×2×2時，就稱為「質因數分解」，至於2則是它的「質因數」。言至於此，我們開始將其他數字做質因數分解，熟悉這個新玩意，學生倒是提了一個好問題。「這樣有什麼用？」
「質因數分解有什麼用？」我直覺反應是「質因數分解很有用，後面就會用到。」但是又不滿意自己這樣的答案，難道接下來的課堂，學生真的能自發性地說，質因數分解真的很有用嗎？我都有點遲疑了。幸好，師大數學教育中心的數學奠基模組，由黎懿瑩老師設計的「終極密碼」，給了我們一個很好的答案。
在老師手上有20張撲克牌，是A、2、3、5、7這五個數字，每個數字有四張牌。從我手中抽出七張牌，由小排到大立在講桌上，請小朋友猜猜看，這七個數字是多少？
一次猜七個數字？這怎麼可能！別擔心，小朋友可以發問問題，問其中一牌是多少，或是最大的數字、最小的數字，也可以這兩個數字相加或相減，甚至於七個數字加起來或乘起來也行，而老師會回答運算後的數字，也只會回答一個數字。
全班總共可以問三個問題，第一個問題後寫下七個數字，如果全部命中，就能得到3分；第二個問題後全部命中，得到2分；第三個問題後答對，得到1分。這一回合結束。
第一回合，七張牌抽出來後，我從小排到大立在講桌上，讓學生可以提問。第一個提問的小朋友，居然就問出關鍵問題：「全部乘起來是多少？」於是，我在黑板上寫下「全部乘積：84」
這時，有些小朋友似乎發現了什麼，不過許多人還是一頭霧水，怎麼從一個數字，猜出七個數字？無論是否抓到關鍵，每個人都寫下第一組答案。接著，第二個小朋友提問：「全部加起來是多少？」，於是，我接著寫下「全部加總：17」，開始有更多人確定了，第三個小朋友提問：「最後一張是多少？」，我寫下「最後數字：7」每個人都在小白板寫下三組數字後，老師就要開獎了。
這一期開出來的七個數字分別是....A、A、A、2、2、3、7，YA！居然真的有一半的人答對，有人在第一次、有人在第二次、也有人在第三次，不過，還有人無法理解，為什麼他們可以猜到七個數字是多少？
「提示你們，要猜出終極密碼，跟昨天學的質因數分解有關。」
第二期的七個數字，再度從20張撲克牌中抽出，依然從小排到大，這次第一個小朋友獲得提問權時，其他同學都跟著說：「問全部乘起來！」我故意說：「可以問問別的問題嘛，不一定要跟第一期一樣。」「不行！不行！」於是，「全部乘起來是多少？」再度成為第一個問題，我在黑板寫下「全部乘積：420」
經過提示，大家開始做質因數分解，只是數字有點大，所以需要一點時間，不過，這一個問題後，大家都說，不用再問第二個了，我還是讓之前沒能答對的小朋友來問問，於是「全部加起來是多少？」再度被問到，「全部加總：21」大家露出滿意的笑容，說驗算成功。
最後開出這一期的七個數字，分別是A、A、2、2、3、5、7，幾乎全班答對了！
「你怎麼知道的？」當然要請小朋友來解答。「首先，老師拿的五種牌裡，除了1之外，其他四個數字──2、3、5、7都是質數。所以，我把420做質因數分解，就是這四個數字的組合，分解出來2×2×3×5×7，就可以得到五張牌是2、2、3、5、7，另外兩張牌，就一定是1，因為不管任何數，乘以1都不會變。」
解答非常完整。小朋友頓時說出，質因數分解真好用。
我們回想一下，質因數分解的時候，我們做了哪些事情。首先是寫420=2×( )，因為是偶數，所以先想到用2來分解，為了要算出2乘以多少是420，我們會用除法，於是旁邊寫下除法直式，420÷2=210。
接著210還可以再分解，於是420=2×210=2×2×( )，就會計算210÷2=105，第二個除法直式出現。
105可以再分解，於是2×2×105=2×2×5×( )，旁邊計算105÷5=21，第三個除法直式出現。
21可以再分解，於是2×2×5×21=2×2×5×3×( )，旁邊計算21÷3=7，第四個除法直式出現。
為了把420分解到不能再分解，我們用了四個除法直式，這四個除法直式都有個共同的特點，那就是餘數一定是0，那麼「餘數」可以簡化嗎？在直式裡，2×210=420，可以把被除數420分完，所以420下面還需要再寫一次420嗎？在質因數分解的時候，餘數0變得不需要寫了，當然2×210的420，也可以不用再寫一次，因為一定要等於420，否則就要換別的數字來除了。因此，除法直式裡的「除數×商的結果」以及「餘數0」都被省略掉，並將除法符號上下顛倒，簡化成另外一種除法直式，我們就稱它為「短除法」，至於原本比較完整的除法直式，就稱為「長除法」。從「長除法」到「短除法」，我們看見了數學家找尋簡單的方法來解決複雜問題的驚人能力，四個式子的長除法，再轉變成短除法後，也讓連續除下去可以接著寫下去，要破解終極密碼，自然是如虎添翼了。
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