2013年10月9日星期三 19：59
這學年和一些老師共同申請了中央輔導團的一個計劃，稱做數學亮點基地計畫，希望藉此社群和同好共同深耕數學教育。
而這一篇，是我們第一次亮點計畫的紀錄。
我們申請的工作坊主題為「臆測與論證」，在進行此主題前，教授建議先認識「課室討論文化」，在此基礎下才可以談臆測與論證，而「課室討論文化」又建立在「共同備課、教材分析」的基礎之上，三者有密不可分的關係。因此，本學期工作坊的六次安排，先從「課室討論文化」的觀課開始，然後回歸到基本面的「共同備課、教材分析」，兩次討論對於課室討論文化有更清楚的瞭解後，再進行兩次的觀課與討論，最後一次才進入臆測與論證，我們也相信循序漸進之下，對於老師會有更大的幫助。
今天，亮點計畫中的九位老師先到附小參與觀課與討論，透過觀摩做為第一次的初體驗。
觀摩的班級是附小三年級謙恭里，教學教師馮汝淇老師是經驗豐富且對於課室討論文化已經有相當多實務經驗的老師，進行的課程是三年級數學（康軒版）第二單元「四位數的加減」。如果依照課本進度，第七週應該已經進入第四單元了，不過馮老師和同學年的老師討論過，調整了課程順序，先進行了「周界與周長」、「圓和角」，然後才上「10000以內的數」及「四位數的加減」。四位數的加減有四個活動，分別是「三、四位數的加法」、「三位數的減法」、「四位數的減法」及「加減法的驗算」，今天是活動二的第一堂課，學生剛學會三、四位數的加法，也經驗過以圖像表徵、部分整體或位值概念來理解四位數加法的概念，並且熟練三、四位數的加法直式計算，今天進行第一次的三位數減法。
這一堂課的教學目標，能透過「圖象表徵」或「位值概念」來試著理解三位數減法的概念，並能使用直式進行三位數的減法。
剛開始上課時，每位學生拿到大約A3大小的白紙，老師要各組的三號拿小組籃，發下每人一枝奇異筆，然後在白紙右上角寫下組別—小組號碼—班級號碼。
第一階段：算式填充題
老師在白板上布題「小華有345元，花了89元買一本書，他還剩下多少元？」這是康軒版數學三年級上學期第23頁的課本例題。然後要學生寫下這一題的算式填充題。
幾乎所有學生都寫下「345-89＝（ ）」。老師請一位學生上台說明原因，學生說：因為錢變少了，所以用減的。」接著，老師詢問其他同學是否有問題，大家都沒有問題下，很快的就進入下一階段。
第二階段：個別解題
老師：「請各自解題，可以用任何方式去解題，但是要合理說明，解釋給同學聽。」
學生開始在白紙上寫出解題過程，老師在之前也假設學生可能會以「圖象表徵」或「位值概念」去理解，並且預期可能產生的迷思有三個，一是直式畫記不清楚，二是說明直式表徵時，位值概念無法清楚表達，三是圖像表徵不清楚。
學生果然各自依照自己的想法進行解題，同樣坐在一起的兩人，雖然都是用直式計算，但是從畫記看來，就知道思路並不相同。左邊的學生明顯從個位算起，右邊的學生則是從十位算起。
第三階段：小組討論
時間到！停止解題，將筆蓋起來，如果還沒寫完不用緊張，可以用口代替筆，用說的補足就可以了。老師要學生開始組內分享，說明時不能只念算式，要解釋自己的想法，答案對錯不是重點，一起找出錯的原因，到底是計算錯，還是概念錯。分享時，依照小組內的號碼1→2→3→4→5的順序分享，旁人協助幫助他把紙立起來給別人看。分享者報名完畢後，詢問其他人是否有問題。
老師說，不要看同學的答案跟你一樣就結束了，要確認同學跟你的想法有一樣嗎？只要想法不一樣就可以提問，說明的過程有問題就舉手。
第四階段：全班討論1圖像表徵
老師先請一位用圖像表徵解題的學生上台報告，老師先幫她畫好3個100、4個10、5個1。這名學生報告時，老師請另外一位同學幫她在白板上換錢。
學生直接從100換成10個10開始，然後進行十位的計算，接著再換成10個1進行個位的計算。學生的圖像表徵看起來並無問題。
報告完畢後，詢問全班同學是否知道她為什麼這麼做？有學生說，她可能是拿45和89比，發現無法減，所以跟百位借。是的！依照生活經驗來看，345-89=( )，思惟絕對不是4個10減8個10、5個1減9個1，而是直接用45減89，因為不夠，所以拿出1個100。這時，原本的45已經不再重要，這跟所謂的直式成人算法並不相同，老師的挑戰，就是從圖像表徵帶到直式算則，並為兩者之間做橋樑、做連結，讓學生之其然也知其所以然。
全班討論2
直式計算從個位算起的畫記
老師詢問全班，一定要從百位借嗎？有沒有別的做法？能不能從十位借？部分學生回答可以，老師要各組一分鐘時間討論，一分鐘後抽人上台分享。
不過，一分鐘後，老師仍然是徵求自願者上台。
上台的學生一邊用直式畫記，老師一邊在旁邊用圖像表徵對照。學生一開始先遮住減數的8，說先計算345-9，因為不夠減，所以從十位借1個10，學生的解釋不清楚時，老師會追問及重複，讓全班能聽到適當的數學語言。
在這裡，學生說要遮住減數的十位數字，然後才開始計算。由此可知，學生自然就從個位開始計算，發現不夠而向十位數借；從100-89的思維變成345-9，學生自行搭了橋，從生活方式過渡到直式表徵。
學生從十位數借來的10，寫在個位數字的上面，然後把10減去9剩下1，因此把10和9都劃掉，在最上面補了1個1，再把那個1和被減數的5加起來，寫在答案6。畫記透露了圖像表徵的過程，詳細而清晰。
學生接下來計算十位數的部份，向百位數借位，從百位數借來了10個10，直接在十位數字上面寫下100。
老師詢問：「為什麼是100？」
學生說：「因為它是從100過來。」
臺下另外一位學生說：「可是它是10個10。」
老師詢問：「是否會誤會成100個10？因為下面的3是3個10的意思。」
學生同意了，將100更改成10，繼續完成計算。老師解決了多數人都能懂的算法後，開始處理特別的算法。
老師說，所以可以從十位開始換，那麼，這樣的直式計算跟從百位開始換，有什麼不同？
全班討論3
直式計算從百位算起的畫記
一名學生自願上台計算，從3減0開始計算，在答案上先寫上了3，接著要算4減8時，就回答：「然後就不能減了。」全班都笑了。這種方式似乎許多學生並不知道如何去做，因此能回答的學生很少。
老師詢問，有沒有辦法可以從百位開始算？每組發下一張大紙，給各組一分鐘討論。
雖然有學生自願上台，但是，對於如何從百位開始計算且用直式記錄有許多猶豫。
學生說：「百位的3減成2。」
老師詢問：「什麼意思？」
學生就說：「百位的3個百拿走1個百，剩下2個百。」
老師訓練學生用正確的數學語言來解釋，學生經過三、四位數加法的訓練，顯然逐漸習慣了。學生一邊說，老師一邊幫他記錄。學生繼續說：10減8等於2。
老師問：「現在就可以寫答案了嗎？」學生遲疑了。於是老師詢問台下的學生，台下一位男同學站了起來說：「不行，因為等一下會卡住。」顯然，他已經預測到個位數字將面臨不夠減，需要向十位借位的狀況。老師問：「所以怎麼辦？」男同學說：「要處理完個位才寫。」老師問：「如果沒有全部處理完，會怎麼樣？」男同學：「卡住。」另一位同學接著說：「所以處理完個位，就可以減了，然後才開始運算。」老師依照同學所說，完成運算。
在這段過程中，當百位數和十位數處理完時，老師有機會在直式最下方先寫上2和6，這時，如果有時發現個位不夠減時，就又可以從答案的6個10去借，但是，這樣也讓答案出現畫記。老師為了避免越畫越複雜，刻意在此打住，讓個位處理完畢後才寫答案。
結論
老師最後說：「哪一個對你比較簡單，你就用哪一種。只要把畫記清楚，說得合理就可以。」
觀課討論
課程結束之後，附小的教師團體移到會議室進行課室討論。教學的馮老師先說明今天的上課狀況。一開始開放解題時，全班只有一人用圖像表徵，這也是學生最容易理解的方式，便從該位學生開始，而他圖像表徵的作法是從百位開始借起，跟平時直式習慣並不同，因此釐清學習者想法。之後的直式算則中，先從大多數人的解題方式（從個位開始計算）釐清，然後才去解決少數人的解題方式（從百位開始計算）。最後，讓學生自行運用。
在課室討論中，學生才進行一個多月的訓練，因此提問有時仍然未針對問題。因此，老師在全班討論時，示範如何暫停，如何問問題，重點在於什麼才是問題，還有正確的數學語言。
其他老師在觀課分享時，針對自己負責的組別做分享，一方面看學生之間的互動，一方面看解題過程中學生的反應。全班29人分成七組，每組四到五人，有如學習共同體的進行模式，在討論時，也是著重在學生如何去學習，以及學習上的困難，而非老師怎麼去教。
教授表示，小組討論的目的，在於如何從老師的方法去幫助他，而不是用老師的方法直接要他做。在互動上，培養學生從別人的角度去思考。在討論時，給他一個安全的環境，學生就會越說越多。
亮點教師討論
回到課本第23頁，看看課本如何處理借位減法的問題。課本用23、24頁處理一次借位的問題，分別用「三位數減兩位數」及「三位數減三位數」來布題。在今天的題目中，課本直接宣告個位先算，然後用圖像表徵在旁邊輔以對照，這種模式就是先告訴你要這麼做，然後再想辦法解釋給你懂，接著做兩題練習，熟練這種作法。第24頁，雖然題目變成三位數減三位數，但是方式相同，同樣的個位先算模式再一次，再解釋一次。
馮老師在這一堂課，並不是依照課本解這兩題，而是只解了其中一題，但是增加了課本沒有的純圖像解題，生活中解決這問題的方式，然後搭橋到直式算則的解決方式，最後又對於部分學生會做的高位到低位模式，三種模式都是從學生出發。
而老師在學生個別解題時，找出學生的錯誤概念，並且透過小組或全班討論去釐清錯誤概念在哪裡。我們很驚訝老師在一個月的時間，就能讓學生達到這樣的問答。井然有序，交談有禮。在youtube也可以找到十二年國教微電影─第二部：教學質變，談的就是分組教學，老師放手讓學生去學習。
至於學生選擇哪一種解題模式，馮老師開放給學生自行做決定，學生選擇的方式可能不是我們熟悉的成人模式，卻能幫助他解決問題。就像有人慢慢會發現，在需要借位的減法算式中，學生會自然產生9、9、10的快速解題法。例如：2134-458的題目中，學生會將千位數字2劃成1，然後在後三位134的上方寫9、9、10，接著就能很快的計算出來。學習自己去找方法、解決問題，就是馮老師的課堂中訓練的。
但是，亮點教師討論中，我們也有人發現小組討論，強勢的學生依舊強勢，討論的氛圍似乎尚未養成，在未養成這樣的氛圍下，是否會引起浪費時間的疑慮？也有老師提出疑問，直式計算只是個方法、工具，還是概念？如果只是解決問題的工具，需要花四十分鐘去討論嗎？老師如果將各種不同的解題方式教給學生，並且讓學生能說出為什麼，是不是更有效率，還可以進行其他活動？下次亮點討論時，我們將繼續學習與反思。
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