快樂是自找的

2013年11月21日星期四 19：59

經過第一次到附小觀課後，大家在第二次亮點討論時議論紛紛，究竟轉換成學生討論為主的教學方式，是不是真的會學得更透徹，還是浪費許多課堂上寶貴的時間？是否會影響進度？是否會遭到家長質疑？許多疑問，在亮點教師群中迴盪著。最後，教授建議我們試著教教看，互相觀摩，找出適合我們學校的方式，因此，安排了一堂數學課，由林老師來教，大家一起討論學生的反應與成效。

日期：102年11月21日星期四
時間：
09：30-10：10於實驗中學國小部五年六班進行觀課
10：30-12：00於實驗中學國小部五年二班進行討論

本單元的能力指標是5-n-16能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。這一堂課則是透過分割再組合發現平行四邊形的面積公式。

 

第一階段：複習舊經驗

正方形的面積公式為邊長乘以邊長，長方形的面積公式為長乘以寬。複習長方形的特徵。

 

第二階段：將平行四邊形變成長方形

老師布題「小優的土地不是正方形，也不是長方形，而是平行四邊形，該怎麼剪成長方形，計算它的面積？」

 

發下每組一份平行四邊形，小組合作剪成長方形。

 

各組學生開始討論作法，不過，作法大都一致。唯一不同的是第一組，他們將平行四邊形剪去多餘的部分，剩下縮水的長方形，就當作完成任務。

第一組顯然並沒有瞭解題意，以為只要剪出長方形就可以完成任務，老師便說：「本來土地那麼大，現在你們把他的土地丟掉，小優會難過唷！」由於佈題具有情境，在解說不能丟掉剪下的部分時，就很容易理解。加上老師幽默的口吻，使得氣氛相當輕鬆。

不過，全班只有一種剪法，預期會出現課本中的「錯誤」解法，或是不同方式的「正確」解法，都沒有出現。

 

這讓老師想要再嘗試看看，學生能不能有多元思考，於是，再發下平行四邊形，要各組想想不同的組合方式。

學生試著找不同的方式。第二、四、五、六組將平行四邊形旋轉九十度，選擇從短邊當底，剪下一個三角形，然後組合成長方形，第三組雖然選擇長邊做底，但是沒有對著頂點剪，而是在兩邊之間畫一條垂直兩底的線，讓高的兩端都是在底邊上。

 

比較特別的是第一組，他們將兩邊的三角形剪掉，讓平行四邊形變成長方形，接著卻又把兩個三角形貼回去，又變回平行四邊形。

第三階段：平行四邊形面積公式

老師要學生比較組合後的長方形，他的長跟寬是原本平行四邊形的哪裡？

 

這一階段讓學生較為迷惑，雖然有學生會直接說出平行四邊形的面積是底乘以高，卻無法正確說出何謂底、何謂高。尤其是「高」的表示有困難。有小組說長方形的「長」就是平行四邊形的「長」，長方形的「寬」就是平行四邊形的「寬」。而且容易把平行四邊形的斜邊和高混淆，這些困境是背公式解題無法看到的。在小組討論中，或許能做第一步的釐清。

有些組雖然無法用文字表示，但是，會畫圖表示，也是不錯的。

當然，也有組別說出了老師想要的答案，長方形的「長」是平行四邊形的「長」，長方形的「寬」是「平行垂直線」。

 

透過全班討論，整理出平行四邊形的公式：底乘以高。

 

第四階段：不同的底、不同的高

延伸平行四邊形的底，詢問是否能畫出不同的高？學生都說可以。雖然畫出不同的高，但長度都是一樣的。這在四年級應該學過的，兩平行線的垂直線都是等長的。

釐清同底等高後，再換底讓學生試著畫出另外一組高。

 

結論

平行四邊形的面積可以藉由底乘以高計算；底邊的高可以畫出許多條，且都是等長；而不同的底會有不同的高。

觀課討論

這是我們第一次進行觀課及討論，教授帶領我們去思考，究竟課室討論是要看什麼。如果大家遊走各組，就可能跟任教老師一樣，無法兼顧每一位學生的上課狀況，因此，要我們之後固定去看一組。而觀看小組表現時，除了看佈題外，還要看小組內的成員，他們如何互動的。此外，就要看老師如何安排討論，怎樣幫助全班瞭解解題，怎樣幫助發表者讓全班了解，老師是否有幫學生擴張想法、改變想法？讓本來比較低階的變成高階。

教學者林老師分享教學設計，在平行四邊形的長邊上，有畫顏色標示，本來希望可以在剪裁組合時能做延伸引導，但是，學生並不是依照老師設計去剪，是教學上較意外的。另外，第一組處於狀況外的情形，也是事先意想不到的；而學生描述平行四邊形的底和高，有些組別無法講出來。這些突發狀況考驗著老師，有些情況讓林老師覺得不知如何去輔助孩子。

對於學生描述平行四邊形的底和高，要去對應長方形的長和寬時，會出現無法以文字表達的情形。在討論中認為，學生對於長方形的邊長就是稱呼「長」或「寬」，對於正方形的邊長則稱做「邊長」，從未出現「底」和「高」的名詞，要能藉由討論說出，是不可能的。有人建議一開始就定義長方形的邊長為「底」和「高」，似乎能幫助最後，學生能說出平行四邊形的「底」和「高」，可是改變先備知識，似乎沒有需求性。第四組的學生中，有人知道平行四邊形的面積公式為底乘以高，但是討論後，仍然寫出平行四邊形的「長」。老師要學生寫下來，就會反思自己的語言，怎麼跟他所想的不同。不過，像這種專有名詞是否直接宣告即可？還是將長方形的長和寬，分別畫出紅線和綠線，再比對原本的平行四邊形，看看是對應哪兩條邊，並且塗上對應顏色，這樣似乎能幫助他們從長方形面積公式看到平行四邊形面積公式。

關於第一組並未進入狀況，亮點教師們則是建議佈題更為明確，無論怎麼裁剪，面積都不能少。必須全部拼回去才行。並且寫在黑板上。

本單元課本一開始是引用「平方公分板」，但，這堂課並沒有這麼做，因為認為學生已學過四邊形的內角和為360度，似乎不需要平方公分板檢驗剪裁組合後的四邊形是否為四個直角。但，也有老師認為，藉由平方公分板才能讓學生明確說出它是一個長方形。課本中，平方公分板的目的為何？真正用途為何？看法不一。