快樂是自找的

進入六年級最重要的單元──比與比值，為什麼說他最重要呢？因為這是進入比例運思的開始，接下來的放大圖和縮圖、比例尺、分數四則運算、速率、基準量與比較量以及怎樣解題單元，都會用到比例運思解題，因此，做好奠基工作，讓學生對比與比值有感學習，顯得相當重要。

本活動改編自臺師大數學教育中心數學奠基活動第一期的「綠色市集」，原設計者為黃敏晃、呂玉英、楊美伶、孫德蘭。放入正式課程時，我只取前面兩個活動，因此少了市集的味道，便把活動名稱更改為「蒐集open將」。

兩人一組，拿到一盒牌卡，裡面有50張open將牌卡、10張兔子牌卡以及10張小熊牌卡。首先，我們先玩open將和兔子，將這兩種牌卡取出來後，一個人負責open將、另外一個人負責兔子，兩人須合作，又快又正確的拿出老師指定的open將以及兔子張數後起立，正確的小組獲得一分，最快又正確的可以多加一分。

Open將和兔子的牌卡有個交換關係，每三張open將牌卡可以換得一張兔子牌卡，也就是說，每一張兔子牌卡會換得三張open將牌卡。而老師每一場次，會抽出一張撲克牌，上面的數字，就是這場次要拿出來的兔子張數，至於open將張數就要靠你們數出來了。

第一場，老師要2隻兔子！只見有些小朋友手腳靈活，很快就把2隻兔子以及6隻open將拿出來，並且迅速站了起來，但是也有些慢慢數的，就完成得慢。

先核對一下答案，2隻兔子應該可以換到6張open將，請兩組互相交換檢查，確認正確的小組可以獲得1分然後坐下，錯誤的小組無法得分然後坐下。「在比賽前，你有做一些安排？」「沒有。」「如果做了特別的安排後，會不會又快又正確的拿出來？」語畢，許多小組開始做了把牌卡拿來分堆了。

「第二場，我要4隻兔子。」這時候幾乎全班都很快了，當然，還是有兩個小組尚未發現關鍵，仍然一張一張慢慢數，然後才緩慢地站了起來，於是，核對完答案之後，還需要靠同學分享一下想法，互相刺激思考。

「讓我們來訪問一下最快的這一組，你們一定有特別的安排，所以才能這麼快就拿出4隻兔子、12張open將。你們的訣竅在哪裡？」

「我們把兔子先分成四堆，第一堆是1隻、第二堆是2隻、第三堆是3隻、第四堆是4隻。」

「如果我抽到的是超過四隻的話呢？比如說，我抽到5隻兔子。」

「我就拿2隻加3隻。」

「如果抽到的是7隻呢？」

「3隻加4隻。」

我原先預測的是同學想到的策略，應該會將open將分堆，每3張就分成一堆，這樣比較好拿，眼看這一組的桌上open將就是這樣分堆，沒想到我一訪問，他居然回答的是兔子分堆，算是出乎我意料之外。

每一場次結束後，就會訪問最快速的小組，分享一下訣竅。「我們把open將每3個就放一疊。」這是很直覺、又普遍的訣竅，這時候，3這個數字在這場遊戲中，特別令人印象深刻了，也是這組交換問題中的關鍵，那是比值的具體意義，很自然就在做前項除以後項，而且是意義的做這個運算，讓比值的產生有其意義。

當然，同學的訣竅也會互相影響，原本是3個一疊的，聽到有人將兔子分成四堆，分別是一隻、兩隻、三隻、四隻，就開始互相學習，也把open將分成五堆，分別是3張、6張、9張、12張、15張，分別對應的兔子就是1張、2張、3張、4張、5張，這就有了比的對應關係。當我抽到兔子的張數是9張時，他們就拿兔子的4張+5張，以及相對應的open將的12張+15張，速度就非常快了。

而創始小組又更進化，直接把1隻兔子、3張open將放在第一疊；2隻兔子、6張open將放在第二疊；3隻兔子、9張open將放在第三疊……。

當然也是有小組依舊土法煉鋼，策略一直都是每三張open將一疊。

我需要的兔子數量越來越大，從2隻、4隻、6隻，接下來就要9隻…..。

最後，第五場次，我就只要1隻兔子，製造一個後項為1的例子。

在這五個場次後，我們看到了五組open將張數和兔子張數的例子，他們有什麼關係在？

「open將都是兔子的3倍。」

「可以舉例支持你的數學想法嗎？」

「6除以2等於3。」

「第一組數據中，6除以2等於3。如果這個數學想法只有第一場符合，其他場次都不符合的話，就不是恆真的數學想法。我們來看看第二場、第三場、第四場、第五場是否都符合。」

「是。」

「這個數學想法真好，任何場次都符合。還有其他的數學想法嗎？」

「它是商不變。」

「兔子都是open將的1/3」

這些數學想法也在五場次都可以證實成立。不過，學生一眼看到的都是「不變性」，希望再讓他們看到「共變性」，於是提問加了一些暗示。

「比較一下兩個場次，當open將的張數增加時，兔子的張數會不會也增加？會怎麼增加？」

此時，有學生就舉手說了

「第一場到第二場的時候，open將變2倍，兔子也變2倍。」

「我們計算看看，果然符合，還有哪一場次跟哪一場次也符合？」

「第五場和第一場都是open將變2倍、兔子也變2倍。」

「open將3張變6張，兔子就1張變2張。」

「可是，其他場次不是變2倍，第一場到第三場是變3倍，那就不會都成立啦。」

「說的也是，那可以怎麼修改？」

「open將變幾倍，兔子就會變幾倍。」

驗證過後，的確都符合，同學也同意這個數學想法恆真了。數學的比有著商不變以及前項和後項共變的關係，透過這活動的討論，讓這兩種關係被看見，是重要的事情。

像這樣，有著商不變，而且其中一個變幾倍，另外一個就變幾倍的共變性質的，我們就稱為數學的比，用「：」來表示兩組數字的關係，前面的數字則稱為「前項」，後面的數字稱為「後項」。

這五組比的關係都符合相同的倍數關係，因此稱為「相等的比」。

他們都有相同的倍數關係，open將都是兔子的3倍，我們就稱3為「比值」，當後項為1的時候，前項就是比值，在每一組比，也都可以用open將的張數除以兔子的張數得到他們的倍數關係，因此，前項除以後項可以得到比值。

其中，有一組的比，前項和後項都是整數，而且數字最小、最簡單，那就是第五組的3：1我們就稱它為「最簡單整數比」。

在這裡，讓「比」的相關數學名詞出場，與遊戲數據做連結。

接下來，兔子收起來，我們改玩更難的小熊。小熊交換的方式跟兔子不同，每5張open將可以換2張小熊，待會兒我會說我要的小熊張數，請你們拿出符合的open將以及小熊張數，在遊戲前，同樣的，小組可以先做一些安排，讓等一下又快又正確的拿出指定張數。

遊戲又進行了三場次，每一場次的小熊張數都是偶數，過程中，也有小朋友想到，如果是奇數怎麼辦，於是問我open將可不可以折？我也順勢告訴大家，open將不能折、不能減、不能撕，但是你可以遮掉一半。直到第四場次，我要讓後項為1的比出現了，所以，第四場次的小熊張數是「1」！小朋友就拿起了3張open將，並且把其中一張遮掉一半，就是2.5張open將配上1張小熊了。

Open將換小熊的過程，同樣符合「商不變」、「兩個會一起變幾倍的共變」，因此也稱作數學得比，同樣有「前項」、「後項」、「比值」、「相等的比」，只是「最簡單整數比」，學生一開始會說2.5：1，不過，再提醒一下前項、後項都必須是整數時，就會轉成5：2了。

比與比值，我們從「交換的比」切入，對於常常有兌換點數經驗的學生來說，相當生活化，在多組例子中看見比例關係後，順勢帶入比的相關名詞，雖然許多是新名詞，不會一堂課就熟悉，不過，接著還有「組合的比」、「母子的比」、「密度的比」以及「伸縮的比」，各種情境的比，都會有這些名詞後，就會慢慢熟悉他們了。