第三節
教學日期：3月12日（三）
教學主題：真分數比大小
教學目標：
1.在連續量的情境下，進行分數的大小比較。
2.當整體1不一樣大時，相同的單位分數也不一樣大。
教學設計：田娟娟、朱志青
教學者：田娟娟
觀察員：林碧珍教授、朱志青、劉貞鈺、朱建豪、李欣樺、郭原甫、吳麗娟、黃于芳、蘇純慧、林裕翔、胡哲瑋、南方芝
教材分析：
1.課本的安排上，進行「真分數的意義」時，先用連續量，後來用離散量，然後進行「分數比大小」、「分數的加減法」，都是連續量及離散量交錯進行。但是，在討論教學流程時，覺得以連續量進行「真分數的意義」、「分數比大小」、「分數的加減法」到「等值分數」，這樣的流程會比較流暢，因為「等值分數」只以連續量經驗，並不會進行離散量的等分。因此，決定調整順序，連續量進行完四個概念後，才回頭進行離散量的題目。
2.在連續量中，讓學生透過畫圖輔以文字說明，解釋同分母的真分數比大小。
3.學生無論使用「部分—整體」或「單位分數的累加」來說明都可以，儘量將兩種說法都呈現。
4.分數的意義中，「整體量」及「分母」都容易在同分母比大小中被忽略，在本次課程中，希望學生不是單純從兩個分數去比大小，而是從分數可以看到圖形或情境，在符號表徵與圖形表徵之間，做足夠的連結，以避免之後出現十分之一加十分之一等於二十分之二的迷思。
5.為了讓學生注意到「整體量」與「分母」對於分數比大小的影響，布題時不讓學生看到整個分數，而是給予「分子」，讓學生自己產生「分母」及「整體量」，藉此去思考「分母」及「整體量」對於分數比大小的影響。
6.兩數的分子選擇為2和4，期望學生選擇的分母，會讓兩個分數產生「大於」、「等於」、「小於」三種可能，發現分母對於分數比大小的影響。
7.為了讓課堂的討論更為具體，設計上以故事的方式進行，透過故事情境去理解各種分數比大小，背後代表的具體意義。
8.由於本次布題，很有可能會出現兩個不同分子的分數，值是相同的情況，因此下一個教學目標調整為「等值分數」，之後才進行「分數加減法」。
【布題一】解決家長來信
親愛的朱老師您好：
我有一對雙胞胎。前天他們發生一件離奇的事情，懇請朱老師幫我查明真相。
事情是這樣的，因為哥哥喜歡音樂，弟弟喜歡繪畫，所以每個星期一哥哥會去上鋼琴課，弟弟就去上畫畫課。前天我臨時要加班，所以我分別打了2通電話，請2位老師分別去買2個披薩，哥哥吃不完的，可以和他的鋼琴老師分享；弟弟的披薩則和畫畫老師分。
問題來了，回到家之後，哥哥一直說他肚子餓，要吃巧克力，我問他吃了幾片披薩，他說他吃了4片。可是這時候弟弟卻大聲說他騙人，因為弟弟在畫畫老師那裡才吃了2片，現在一點都不餓，他說哥哥是因為想吃巧克力才說謊。
我先跟老師解釋一下，因為他們是雙胞胎，所以他們的食量幾乎一模一樣，而且可以確定的是，他們那天的早餐、午餐都是一樣的，下午也沒有再吃任何東西。
哥哥是很誠實的人，從來都不會說謊，但是我又覺得弟弟說得很有道理，哥哥應該是想吃巧克力才說肚子餓，不然怎麼可能吃4片披薩比吃2片披薩還要餓？4片披薩比2片披薩還要多不是嗎？
請問朱老師，哥哥說的一定是對的，請你幫我想想，為什麼會這樣？
煩惱的媽媽敬上
老師收到了一封來信，請學生幫忙解決問題。發下白紙後，請每個人寫下可能的原因，並且用畫圖表示，哥哥吃得的確比弟弟少。
這一節課，由於有林碧珍教授以及11位亮點教師協助擔任觀察員，因此，更清楚記錄學生的思考歷程。
個人解題後，老師要小組內進行討論。如果組內有一樣的理由，就只要拿一張代表，如果有不一樣的理由，就統統拿出來。
第一組（觀察員：黃于芳）
1B寫：「弟弟的2片是十分之二，哥哥的4片可能是十分之一」，討論時說，弟弟的2片可能是真的2片，哥哥的1片，實際上可能是1片分成4片。
1E看了1B的答案後，試圖想要把十分之一圓畫成4片，可是畫不出來。
1C寫：「可能他們的pizza不一樣大。」詢問「我的可以嗎？」
1E：「pizza是一樣大的。」
1C：「有嗎？」
1E：「有有有，剛才有說。」
最後五人分別寫下
1A：1.食量不一樣大2.哥哥說錯了
1B：因為弟弟的2片是十分之二，哥哥的4片可能是十分之一
1C：有可能他們的pizza不一樣大
1D：哥哥的披薩雖然是4片，但是他的披薩都比較小片，弟弟有2片，但都比較大片，，所以哥哥才會餓。
1E：原本寫「因為弟弟吃了2個pizza，哥哥吃了4個pizza」
老師巡視時提示，哥哥吃4「片」，弟弟吃「2片」
1E改成「因為弟弟吃了一分之二個pizza，哥哥吃了四分之一個pizza」
但是，1E看了1B的答案後，就把白紙翻面，想用畫圖解決問題。結果畫出了弟弟是四分之二，哥哥是八分之四。
第二組（觀察員：劉貞鈺）
2A：第一次寫「也許這兩位老師分的份量不同，或者哥哥是把1片分成4塊，也有可能老師幫學生先分好了」，後來塗掉，寫上「老師們分的份量不同，吃的份量也不一樣。」（圖畫：弟弟那裡將圓分成8等分，哥哥那裡將圓分成7份，但並不等分）
2B：可能是弟弟吃的披薩是2塊四分之一的披薩，但哥哥可能是4塊四分之一的披薩，所以比較少。（圖畫：以長條圖說明，哥哥是十分之四條，弟弟是四分之二條。）
2C：哥哥應該吃了片，因為（圖畫：弟弟的圓是八分之二）
2D：
（X）答1：有可能弟弟吃的披薩比較大。
（X）答2：有可能弟弟吃的是疊在一起的。
（X）答3：弟弟喝了很多汽水，吃了比較多的薯星星。（老師說，沒有吃其他東西後，2D把這選項畫掉）
（V）答4：老師給弟弟吃更多東西。
2E：我認為有可能是哥哥吃的披薩比較小，弟弟吃的比較大片，所以以這樣的推論來說，雖然哥哥吃的比弟弟吃的多2片，但其實哥哥吃的4片，有可能比弟弟吃的2片還來得少。（圖畫：以圓形角的大小說明，哥哥吃的披薩圓形角較小，弟弟吃的披薩圓形角較大。）
這一組寫得比較久，互相討論的時間並不多，互相分享時，2C一直不願意給別人看，其他人堅持要看，最後不得已之下，只好拿出來，結果變得很尷尬，因為寫得真的不多。
2E在討論時，用比的解釋，弟弟吃的是角度比較大，哥哥吃的是角度比較小，所以弟弟會吃的比較多。
2B認同2E所說的。
2D的想法倒是不一樣，認為弟弟吃的是疊在一起的，所以每片比較厚。
小組討論後，決定將2D的答案送出去，因為比較多，可能會獲得比較多的小組分數。
第三組（觀察員：胡哲瑋）
3A：哥哥可能是把一片披薩分成4塊。
3B：有可能哥哥吃的披薩尺寸比較小。
3C：哥哥應該是吃太飽，所以拉肚子了，回家之後，過一段時間，哥哥又肚子餓了，所以才想吃巧克力。（圖畫：哥哥的圓中畫了4個同等大小的扇形，但是圓內的其他部分留白）
3D：因為哥哥應該是吃了2塊切成4片，弟弟應該是吃了完整的2塊。
3C原本的答案被老師否決了，因此寫了另外一個答案。「可能是把1片披薩分成4片」。
3A在引起動機（老師說明信件內容）時較沒有注意，有點不在狀況內，因此沒有弄清楚布題內容。
3B則是一直沒有動筆，直到最後才寫。
討論時，3A、3C直接否決了3B、3D的答案，讓3B、3D看起來心情有點低落。兩位男生一開始認為兩位女生的答案不對，不過，最後挑選答案時，又覺得自己寫得也不對，因此決定要貼3B的答案到黑板上。
第四組（觀察員：蘇純慧）
4A：因為披薩可能不一樣大，哥哥的披薩比較小，所以4片可能沒有弟弟的2片大。（圖：八分之四小於八分之二）
4B：因為兩個不同的老師會買不同大小的pizza，哥哥的pizza比較小，弟弟的比較大，所以哥哥吃的比較少，弟弟吃的比較多。（圖：八分之四小於八分之二）
4C：因為弟弟吃得披薩不一定跟哥哥吃的平分的一樣，所以哥哥才肚子餓。（圖畫：弟弟的圓四分之二，哥哥的圓八分之四）
4D：因為弟弟平分的比較大，哥哥平分的比較小，所以哥哥吃得比較少。（圖畫：兄十六分之四、弟四分之二，其中，弟弟的pizza畫成四等分，塗上其中兩份；哥哥的pizza先畫成四等分，在將其中一等分分成四等分，然後塗上顏色）
小組討論時，4A和4B的答案都是屬於「整體量不一樣大的」，4C和4D並不認同，認為同一家店的披薩一定會一樣大。
4B看4C畫的圖，認為哥哥和弟弟吃的是一樣多。
因為4A、4B、4C的答案都被質疑過，因此，最後四人決定要送4D的，看起來最沒有問題。
第五組（觀察員：林裕翔）
5A：因為弟弟吃的那個pizza的一小片比較大，而哥哥吃的那個pizza的一小片比較小。（圖解：弟弟的圓分成4等分，取其2份；哥哥的圓先分成8等分，取其4份，後來改畫成分14等分，取其4份。由於那4份畫得太黑，造成界線不清楚，所以還標出1、2、3、4，表示有4份）
5B：
1.份量不同（圖畫：哥哥的圓6等分，弟弟的圓8等分）（後來刪掉）
2.披薩店偷工減料（老師說沒有偷工減料後刪掉）
3.哥哥比較早吃（老師說沒有比較早吃後刪掉）
4.分的數量不同（圖畫：哥哥的圓十六分之四，弟弟的圓四分之二）
5.哥哥中途去上大號（老師說「雙胞胎一定會一起上大號」後刪掉）
5C：因為說不定哥哥吃的一片比較小，弟弟吃的一片比較大。（圖畫：弟弟的圓分成2等分，哥哥的圓分成8等分。都沒有塗色。）
5D：因為可能是哥哥吃的是1片裡面的一半，而弟弟是全部的2片。
5E：可能是弟弟吃的比較大片，也可能是哥哥吃的比較小片。（圖畫：哥哥的圓是十分之四，弟弟的圓是四分之二）
由於老師在課間巡視時，發現5B的答案偏離數學理由，因此逐一要學生撇開非數學理由的原因，後來5B逐一刪去。
小組討論時，第五組覺得5A畫得最美，因此提議要送5A的出去，但是又覺得5E的答案比較對，因此在5A的答案紙上補畫了5E的答案。
全班討論
各組送出來的答案類型，總共可以歸類成五種類型。
類型1整體量不一樣大（5人）：學生想到兩個老師買來的披薩是不同大小的，因此切出來的大小也不一樣。
類型2分母不一樣大（9人）：學生想到兩個披薩雖然一樣大，但是切的片數不一樣多，哥哥的披薩切的片數多，每一片就變得小。
類型3不同的策略（3人）：和上面兩種方法不太一樣，直接畫出兩人所吃的披薩總量是弟弟大於哥哥，然後才去切割片數，以符合老師的題目。
類型4不知所云（7人）：理由寫得不清楚，難以理解的思考模式。
類型5等值分數（3人）：思維和類型2相同，但是圖像呈現的是哥哥和弟弟吃的一樣多，適合放在最後，銜接等值分數的課程。
以上五種類型會有重複，因為有些人不只寫了一個理由，可能同時寫到2個類型的理由。
【類型1】整體量不一樣大
哥哥吃的是小披薩，弟弟吃的是大披薩。所以哥哥雖然吃了4片，但是實際上，他並沒有吃得比較多。
這一類型原本應該更多，不過，有些學生認定兩個披薩不會不一樣大，因此在小組討論時，有些被刪去了。最後，剩下5人依舊是寫這個理由。
1C：有可能他們的pizza不一樣大。
2D：
（X）答1：有可能弟弟吃的披薩比較大。
（X）答2：有可能弟弟吃的是疊在一起的。
（X）答3：弟弟喝了很多汽水，吃了比較多的薯星星。（老師說，沒有吃其他東西後，2D把這選項畫掉）
（V）答4：老師給弟弟吃更多東西。
3B：有可能哥哥吃的披薩尺寸比較小。
4A：因為披薩可能不一樣大，哥哥的披薩比較小，所以4片可能沒有弟弟的2片大。（圖：八分之四小於八分之二）
4B：因為兩個不同的老師會買不同大小的pizza，哥哥的pizza比較小，弟弟的比較大，所以哥哥吃的比較少，弟弟吃的比較多。（圖：八分之四小於八分之二）
如果哥哥拿到的那1個披薩，和弟弟拿到的那1個披薩，是不一樣大的，的確可能哥哥就算吃了4片，也沒有弟弟吃的2片多。
如果「1個披薩」不一樣大的時候，我們就沒有辦法確認誰吃得多，所以，從現在開始，只要沒有特別說，被分的披薩通通一樣大。
【類型2】分母不一樣大
兩人吃一樣大的披薩，但哥哥吃的披薩切成100等分，所以雖然他吃了4片（4/100個），但卻沒有弟弟吃2片（2/8個）來得多。
這一類答案的學生最多，有9人想出這樣的可能，這類的學生雖然還不會異分母的比大小，但是透過圖形，可以用符號記錄兩個異分母的大小。
2B：可能是弟弟吃的披薩是2塊1/4的披薩，但哥哥可能是4塊1/10的披薩，所以比較少。（圖畫：以長條圖說明，哥哥是4/10條，弟弟是2/4條。）
2E：我認為有可能是哥哥吃的披薩比較小，弟弟吃的比較大片，所以以這樣的推論來說，雖然哥哥吃的比弟弟吃的多2片，但其實哥哥吃的4片，有可能比弟弟吃的2片還來得少。（圖畫：以圓形角的大小說明，哥哥吃的披薩圓形角較小，弟弟吃的披薩圓形角較大。）
5A：因為弟弟吃的那個pizza的一小片比較大，而哥哥吃的那個pizza的一小片比較小。（圖解：弟弟的圓分成4等分，取其2份；哥哥的圓先分成8等分，取其4份，後來改畫成分14等分，取其4份。由於那4份畫得太黑，造成界線不清楚，所以還標出1、2、3、4，表示有4份）
5C：因為說不定哥哥吃的一片比較小，弟弟吃的一片比較大。（圖畫：弟弟的圓分成2等分，哥哥的圓分成8等分。都沒有塗色。）
3：因為可能弟弟吃的2片比哥哥吃的4片來的多（圖畫：弟弟的圓分成4等分，取其2份。哥哥的圓分成8等分，取其4片。文字說明：弟弟吃了2大片，而哥哥吃了4小片；弟弟吃2/4，哥哥吃4/8。
12：因為弟弟吃的一片比較大，哥哥吃的比較小。（圖畫：弟弟的圓分成4等分，取其2份；哥哥的圓分成16等分，取其4份。）
5E：可能是弟弟吃的比較大片，也可能是哥哥吃的比較小片。（圖畫：哥哥的圓是4/10，弟弟的圓是2/4）
11：有可能畫畫老師跟音樂老師分的大小不一樣，所以哥哥才會喊餓。（圖畫：哥哥的圓是4/10，弟弟的圓是2/4）
14：可能是因為弟弟一片比哥哥吃的一片還要多四倍，哥哥的老師再幫哥哥對切兩次。（圖畫：哥哥的圓是4/16，弟弟的圓是2/4，還註明哥哥的披薩比弟弟多切的部分是「老師切的」）
【類型3】不同的策略
4D再分的策略：因為弟弟平分的比較大，哥哥平分的比較小，所以哥哥吃得比較少。（圖畫：兄4/16、弟2/4，其中，弟弟的pizza畫成四等分，塗上其中兩份；哥哥的pizza先畫成四等分，再將其中一等分分成四等分，然後塗上顏色）
從文字上看不太出來4D真正的想法，不過，從圖畫就可以清楚的瞭解，4D是先將兄弟吃的總量先畫出來，讓弟弟吃的比哥哥多，然後再去符合老師的題意，把弟弟吃的分成2片，哥哥吃的分成4片。
1B以結果直接說明：因為弟弟的2片是2/10，哥哥的4片可能是1/10。（圖畫：哥哥的圓是1/10，弟弟的圓是2/10。學生嘗試畫了5個圓都不夠圓，因此沒有畫完，又畫了5個圓，但不滿意10等分，最後2個圓才標上哥、弟）
1B的想法跟4D相像，不同的是，4D無法用文字呈現，1B可以用文字說明清楚；4D的圖畫把可能原因畫了出來，可是1B卻畫不出來。
2A：第一次寫「也許這兩位老師分的份量不同，或者哥哥是把1片分成4塊，也有可能老師幫學生先分好了」，後來塗掉，寫上「老師們分的份量不同，吃的份量也不一樣。」（圖畫：弟弟那裡將圓分成8等分，哥哥那裡將圓分成7份，但並不等分）
【類型4】不知所云
雖然被分的披薩是一樣大，但是怎麼分的不一樣。哥哥的披薩分得很多片，所以每一片都很小，弟弟的披薩分得很少片，所以每一片都很大。的確可能哥哥就算吃了4片，也沒有弟弟吃的2片多。
接著，老師要學生用符號紀錄兩分數的關係，並且歸納出分數比大小要注意的事情。包括1個披薩（整體量）是不是一樣大？如果沒有特別說，就當作1個披薩（整體量）是一樣大的。
接著，要注意怎麼分的（分母），如果分的份數（分母）相同，才可以看份數（分子）去比較大小。
解決了家長來信。
【類型5】等值分數（此類型並不在這一堂課處理，而是留在下一堂課，進行等值分數時才處理）
1E：原本寫「因為弟弟吃了2/1個pizza。哥哥吃了1/4個pizza」，旁邊畫了兩個圖，哥哥的圓分成4等分，弟弟的圓分成2等分。後來打X，換面畫圖：弟弟的圓2/4，哥哥的圓4/8
3C：哥哥應該是吃太飽，所以拉肚子了，回家之後，過一段時間，哥哥又肚子餓了，所以才想吃巧克力。（圖畫：哥哥的圓中畫了4個同等大小的扇形，但是圓內的其他部分留白）
4C：因為弟弟吃得披薩不一定跟哥哥吃的平分的一樣，所以哥哥才肚子餓。（圖畫：弟弟的圓2/4，哥哥的圓4/8）
議課討論時，有些亮點教師覺得，布題是如果換成3片和4片，就不會有學生畫出等值分數，可能會更容易聚焦在比大小的教學目標。因為有些學生知道分割的份數不同，有可能會讓弟弟吃的比哥哥多，可是由於布題是2片和4片，很容易畫出兩人吃的份量相同，就會畫出和題意不同的圖案，但他的想法卻是符合預設的教學目標。
但，也有些亮點教師認為，由於接下來要接著討論等值分數，所以，用3片和4片可以引導學生畫出等值分數的圖形，然後再下一節繼續討論，也是不錯的方式。
由於，這次的布題屬於非常開放式的題目，希望透過解決這道題目，可以一次解決許多概念。臆測與推論的教學方式，雖然能培養學生思考的層次與歷程，但是所需時間較長，若不能一次串起數個教學目標，對於教學節數有限的現實下，的確會對老師產生不小的進度壓力。
【布題二】如果兩人的披薩都是分得一樣多片，是不是就可以比較大小了？（可以）那麼，兩個披薩都分成了8等分，哥哥吃了4/8個披薩，弟弟吃了2/8個披薩，誰吃得多？請用數學符號記錄，並且用畫圖或文字說明理由。
相較於布題一，這一題顯然簡單多了。幾乎所有的學生，都能寫出「哥哥，4/8 > 2/8」。寫錯的只有1C，他寫：「弟弟，2/8 < 4/8」。不過，答案應該是筆誤。至於1B、3A都寫「4/8 - 2/8 = 2/8」，應該是知道4/8 > 2/8，只是因為老師要學生寫出「算式」，所以就把兩數相減。
結論
披薩一樣大的情況之下，哥哥吃4片，弟弟吃2片，有可能出現三種狀況。
哥哥和弟弟的披薩都是切成8片，哥哥吃4/8個披薩，弟弟吃2/8個披薩，哥哥吃的比較多，記成4/8 > 2/8。
哥哥的披薩切成4片，弟弟的披薩切成2片，哥哥吃4/4個披薩，弟弟吃2/2個披薩，兩人都是吃了1個披薩，記成4/4 = 2/2。
哥哥的披薩切成16片，弟弟的披薩切成4片，哥哥吃4/16個披薩，弟弟吃2/4個披薩，弟弟吃的比較多，記成4/16 < 2/4。
要比較兩個分數的大小，你可以試著用畫圖的方法，加上你所知道分數的意義，去把問題解決，然後用數學符號記錄下來。
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