盒子表面的秘密─表面積 @ 快樂是自找的

五年級學習「體積」、再學「表面積」，兩者分開來學的時候，都沒有什麼問題，但是學完之後，把題目混在一起會發現，要他求表面積，結果帶入體積公式，要他算體積，結果在算面積。究竟是搞不懂「體積」和「表面積」的意思，還是對於公式無感？要算「體」還是「面」，這是個問題。

無論是「體積」或是「表面積」，都是用一維的名稱進行計算，也就是都用「邊長」做運算，因此從算式來看，真的不容易立即看出，現在是在算三維的體積，還是二維的面積，因此，在抽象的算式出來前，讓學生能夠觀察立體形體，從中去察覺三維的體積和二維的表面積，具體的差異在哪裡，是這堂課一開始要做的事情。

不過，怎樣才能同時看到「體積」和「表面積」的具體形象呢？

先在平方公分板畫出一個長方體和一個正方體的展開圖，讓每個面都能看到一個個的一平方公分。

展開圖剪下後，開始在裡面塞入小白積木，一顆顆的一立方公分就放進盒子裡。形成表面有許多1平方公分格子、裡面有許多1立方公分積木的盒子。

每人拿到這個盒子後，我請學生觀察，這是什麼形體？
生：長方體
師：在這個長方體盒子，你看到了哪些曾經學過的數學？
生：體積是長×寬×高

雖然我不想抽象的公式一開始就出現，但是，顯然記憶深刻，一看到長方體就會想到體積公式。即使如此，還是再往回帶，讓孩子摸摸看，體積是指什麼，面積又是在算哪裡？

師：你說的體積，那是指長方體盒子的哪裡？
生：裡面的大小
師：你發現了，盒子裡面有裝東西，你知道裝什麼嗎？
生：立方公分
師：好厲害，沒有打開來，你就知道裡面裝的是一顆一顆的小積木，小積木就是...
生：一立方公分。
師：體積就是裡面裝了多少個一立方公分，那要怎麼算裡面有多少個一立方公分？
生：長×寬×高
師：說得好，長就是一排有六個，寬就是有五排，高就是有三層。所以，你用長乘以寬乘以高，就可以算出長方體盒子的體積，總共裝了多少個一立方公分。

師：還發現什麼？
生：上面有一平方公分
師：你看見了盒子表面的格子，每一格的邊長是一公分，所以是一平方公分。你觀察看看，每一面都有格子嗎？
生：有
師：總共有幾個面？
生：六個
師：現在請你算算看，盒子表面總共有多少個格子。看看怎樣算速度最快。在你們桌上有小白板，可以把它當作計算紙，做些紀錄。

這時候，有些學生開始用點數的，這當然不是我們希望學生做的，於是，不一會兒，就故意說「時間到！」

「請問有多少個格子？什麼，都還沒算完？這樣不行，要想辦法，有沒有更快的方法，可以在短時間把六個面都算完，再給你們一分鐘。」

長方形面積公式開始派上用場，小朋友開始用長乘以寬去計算每一面的面積，然後加起來。

「時間到！」這次幾乎都算完了，而且答案都是126。

師：「接下來，我要請你們把剛剛做的事情，整理到這一張任務單上，左邊是將桌上的盒子畫下來，畫的是視圖，這不好畫，你們盡力就好，盒子上面一格一格的，可以不用畫下來，只要標示出來邊長就可以了。主要是在盒子拿走之後，別人還是知道，你算的是什麼形體。右邊，則是把剛剛在小白板的計算過程，整齊的寫下來。」

學生很少畫視圖，畫得跟我們習慣的不同，倒也沒有太大關係，這是他在把三維形體平面化的過程。

從算格子、使用長方形面積公式，我們要將剛剛的算式轉換成「表面積公式」了。

剛剛說的「長方體表面的格子數」也就是算「長方體表面的面積和」，我們把它簡稱為「長方體表面積」，6公分則是長方體的「長」、5公分是長方體的「寬」、3公分是長方體的「高」，請將式子裡面的6以「長」取代、5以「寬」取代、3以「高」取代。

長方體表面積的公式，並不是一定要學生寫出來，一方面是太長了，另一方面是希望學生不要總是在背背背，忽略了本質。不過，在這裡，讓學生用自己的例子，整理出公式，幫助他們看到其他長方體的時候，知道自己要找的是什麼構成要素。

整理成公式，目的不是好記，而是將想法用簡單的方法表示出來。這是理解與產出的一部份，而不是輸入。

學生寫出來的，幾乎都是「長×寬×2+寬×高×2+長×高×2」。

師：「有沒有更簡單的算法？數學厲害的地方，就是能找到比較簡單的算式，去解決有點複雜的問題，這個公式很長，能不能讓它更簡單？」

學生看了一下後，終於有人說話了。

「(長×寬+寬×高+長×高)×2」

先算三個不同大小的面，然後依照長方體的性質，一定會有另外三個面，在他們對面，而且一樣大，所以最後再乘以2。兩個公式，做為這一堂課的結論，從拿在手上的盒子，計算表面的格子數，希望讓他們對於「表面積」這三個字，可以連結到計算所有表面格子的具體動作，而不會以後看到長方體，不管算什麼，都長×寬×高。

隔天，給每位學生一個正方體，因為是長方體的特例型，學生覺得很簡單，很快就都寫出3×3×6，也很快轉換成正方體表面積公式為邊長×邊長×6。

長方體盒子的表面積是126平方公分，正方體盒子的表面積是54平方公分。我們已經算過兩個形體了，接下來，請學生將兩個形體進行組合。

每個人依照自己的想法進行組合，在全班共同歸類下，總共可以分成四大類，這四類，由學生為類別命名。

這是人型，正方體就像是人頭，長方體就像是身體。

這是卡車型，正方體就像是車頭，長方體就像是車身；立起來就是菜刀型，正方體是刀柄，長方體是刀面。

這是生日蛋糕型，正方體就像是蠟燭，長方體是蛋糕。

這是樓梯型，小階樓梯接大階樓梯。

為什麼長方體設計成6×5×3，正方體設計成3×3×3，主要就是為了讓學生可以組合出這四種造型，而設計出來的數據。

下一個任務，拿到同樣的任務單，左邊畫視圖，右邊寫下計算過程，之前算過的線索，可以直接拿來用：長方體盒子的表面積是126平方公分，正方體盒子的表面積是54平方公分。

全班討論時，我們主要是以「求複合型體的方法」做為歸類。

第一位學生，組合出來的是卡車型，從他的計算過程可以知道，他是將複合形體的每一面算完，再通通加起來。常見的複合型體表面積求法，但這個方法很容易漏掉。

第二位學生，組合出來的是生日蛋糕型，從他的計算過程可以知道，他是將正方體的表面積加上長方體的表面積，然後扣掉重疊的兩個面。

第三位學生，組合出來的也是生日蛋糕型，計算方式跟第二位相似，只是正方體的表面積一開始就只算五個面，因為他很清楚，第六個面已經不是「表面」，而是「裡面」了，所以不需要計算。長方體的表面積算完後，再扣掉長方體被遮掉的9平方公分，然後再加起來即可。

學生解法只要合理，都是值得鼓勵的，但是，以簡馭繁是數學的一個原則，在這個單元，總是會帶著學生思考，有沒有更快的？有沒有更簡單的？促使學生思考的，不只是找到方法就好了，還要能比較不同的方法，進而選擇能夠算得快又正確的那種。

於是，最後詢問，無論是哪一型，無論是三種算法的哪一種，答案都是162平方公分，為什麼？

其實，現在課本裡關於表面積的複合形體已經簡化了，這些複合形體都可以藉由兩個基本形體的表面積計算出來後，扣掉重疊部分就可以算出來了，而這也會是比較快又不容易錯的方法，但是，老師不能說，甲同學的方法好，乙同學的方法不好，這樣太傷人了，只要讓學生發現，四種造型的共同性，他們都是兩個基本形體，重疊小形體的一個面，就間接告訴他們，不用一個面、一個面去算，這樣會漏東漏西，只要能看見兩個基本形體，就可以用第二位同學的算法去解決問題了。

從三維形體去看二維物件後，回到課本，那是三維形體平面化，其實跟有立體圖形可以轉來轉去觀察，還是不太一樣，因此，需要搭個橋，讓剛剛摸過的課程，可以跟立體圖形平面化去對照。