快樂是自找的

有一條長七分之六公尺的彩繩，每七分之二公尺做一個中國結，可以做成多少個中國結？（包含除/分數除以分數）

米缸裡有七又六分之五公斤的米，如果一星期吃掉六分之七公斤，米缸裡的米相當可以吃幾個星期？（當量除/帶分數除以帶分數）

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數學課本就是由一個又一個獨立的問題組合起來，反正情境都是個幌子，括弧裡的才是真的要學的。問題是，這樣的布題寫在黑板上的時候，看不到學生渴望求知的眼神，感受不到想要解決問題的動力。

於是，找尋適合這裡孩子的素材，是一直在思考的點。

崇德國小是一所太魯閣族的學校。因此，我們改編太魯閣族的傳說故事─射日英雄為基底，學生當作傳說故事的主角，把幾個概念布題包裝在故事裡，藉由ppt營造關卡情境，讓學習就好像在傳說故事中解決問題。

以前在天上有兩個太陽，他們輪流照在地上，當一個太陽下山時，另一個太陽就會升起，因此沒有夜晚，人們無法休息。

有位勇士（snaw balay/聖老巴萊/真正的男生），決定上山去，將一個太陽射下來。

有幾個朋友，要來幫助勇士。他們分別是猴子（rungay/瀧乃）、山豬（bowyak/波亞）、占卜鳥一（sisil/希希）、占卜鳥二（sisil/希希利）。

我一邊講故事，一邊跟學生學族語，將每個角色都用族語來稱呼，讓故事更融入在這裡的世界，一個學生熟悉的世界。

走著走著，他們肚子餓了。於是聖老巴萊拿出了一塊大餅，和朋友們一起吃，為了公平起見，大家要吃一樣多，所以需要平分，這時候，遇到第一個數學關卡。

【關卡1】勇士拿出一塊大餅，平分成五份，每人拿一份，請問每人拿到幾塊大餅？

吃一塊還不夠飽，又吃了兩塊大餅，同樣平分成五份，遇到第二個數學關卡。

【關卡2】勇士拿出三塊大餅，平分成五份，每人拿一份，請問每人拿到幾塊大餅？

這階段是複習「整數除以整數，以分數表示」，這其實在前一天發現學生不足的地方，需要再布題強化。

吃完大餅後，勇士開始練箭，結果把箭全部射光了。

聖老巴萊：「誰可以幫我去找竹子，我需要五分之三公尺長的竹子才能做出一支箭。」

於是，四個朋友都去找竹子了。

不久，第一個朋友─攏乃回來了，帶來了一個竹子，可是這竹子不是剛剛好五分之三公尺，而是一又五分之一公尺長。

【關卡3】一又五分之一公尺長的竹子，每五分之三公尺做成一支箭，請問可以做出幾支箭？【畫圖說明/算式紀錄/寫答】

當學生對於一又五分之一感到不知所措時，就適時提供鷹架，可以用分數牆教具，讓他將一及五分之一都換成五分之一來計算。操作足夠的孩子，則讓他試著畫圖來解題。

在格子小白板上，畫出同樣大小的五分之一，比較不會造成困擾，然後每3個五分之一標示做成一支箭，也能用圖來解決問題。

圖畫再搭配算式，依照題意列式後，再換成假分數，再以整數系統的想法來解題，6個五分之一除以3個五分之一等於2支箭。

接著，第二個朋友─波亞回來了，拿回來的竹子也不是剛好五分之三公尺長，而是兩公尺長的竹子。

【關卡4】 2公尺長的竹子，每3/5公尺做成一支箭，相當於可以做出幾支箭？

在這個關卡，要處理「當量除」的問題，也就是單位數不是整數的「包含除」問題，同時牽涉到兩個單位的轉換，是不容易處理的關卡。

「3/5公尺可以做成一支箭，那麼，1/5公尺呢？」

「0支」

（學生覺得要做就要做一支箭，沒有做一半的）

「1/5公尺的竹子，雖然無法做成完整的一支，但是，可以相當於幾支？」

「1支」

（好吧，老師既然說不是0支，那就算1支吧，「相當於」這三個字還沒有實質意義）

「我們把一支箭畫出來，長度是3/5公尺，也就是3個什麼？」

「1/5公尺」

「現在，我在這3個1/5公尺下面，再畫1個1/5公尺，相當於幾支？」

「1/3支」

「相當於把1支箭平分成3等份，其中的1份，就是1/3支箭。」

在處理六年級分數除法時，簡直就是三到五年級分數總複習，到目前為止，需要用到好多舊經驗。

包括：
三年級的「單位分量的累加」，3/5公尺不只是1公尺平分成5等份，其中的3等份，這是部分-整體的概念，延伸有限。最慢從三下開始，就要習慣3/5公尺就是3個1/5公尺的概念，讓單位分量變成可以計數的小單位。

四年級的「整數/帶分數換假分數」，要做運算或是發現規律時，就需要轉換成假分數，要知道量感的時候，就需要轉換成帶分數或整數。

四年級的「整數除以整數，用分數表示」，繼「部分-整體」、「單位分量的累加」後，分數的第三種意義，表示兩數相除的結果。

五年級的「分數數線」，以線段來呈現分數，讓分數的運算可以視覺化。

在學生解題與發表過程時，只要其中一個學生遲疑，就畫一個圖，讓舊經驗可以回到腦袋中。每一步都要小心翼翼，把每一層概念都夯實再走。

學生接受1/3支箭後，才敢寫下3又3分之1支箭。

畫完圖後，再用算式記錄，將2轉換成10/5，因此10/5除以3/5等於10個1/5除以3個1/5，等於10/3支箭，相當於3又1/3支箭。

將題目的數字換一下，讓學生試著解解看。

4公尺長的竹子，每3/5公尺做成一支箭，相當於可以做出幾支箭？

原來預期學生會依樣畫葫蘆，將4公尺換成假分數20/5，然後以20/5除以3/5等於20個1/5除以3個1/5，等於20/3支箭，相當於6又2/3支箭，就像是這樣。

但有兩個小朋友令我驚喜，因為他們還想到了另外一種解決方法。

延續【關卡4】2公尺長的竹子相當於3又1/3支箭，就直接畫兩段2公尺，因此相當於3又1/3支加上3又1/3支，這個想法出來，有關鍵性的作用，將會讓分數除法的算則更快被找出規律。

希希是第三個回來的朋友，找到的竹子是1公尺長的竹子。

【關卡5】1公尺長的竹子，每3/5公尺做成1支箭，相當於可以做出幾支箭？

學生已經習慣，化成同分母進行運算。因此，這一關對他們來說不難。甚至於再多練習幾次，如果找到的竹子是5公尺，相當於可以做成幾支箭。只可惜這裡，沒有人畫出5個1公尺，每個1公尺都相當於5/3支箭，如果畫出來，將會更順利。

接下來，就要將這幾個算式整理成表格，發現它們的規律性了。

等號左邊是來自於題目的列式，以大人的話就是，N公尺長的竹子，每3/5公尺做成一支箭，因此列式為N除以3/5。

右邊則來自於畫圖，從1公尺相當於5/3支箭，2公尺則是5/3支箭的2倍，4公尺則是5/3支箭的4倍。再透過乘法的交換率，讓等號兩邊的排列更接近，看看學生能從表格中發現什麼。

這裡走的路徑是跟課本完全不同。課本的路徑應該算是比較普遍的方式，將異分母化成同分母，然後簡化計算，但是，簡化的過程要看見「顛倒相乘」，就必須透過算式中的交換律，交換的時候已經失去情境，因此顛倒相乘跟原本情境的關聯在哪裡？誰也說不清。在這裡，雖然也有使用到交換律，但是顛倒相乘的情境仍然在，藉由圖解可以觀察到，代表的是1公尺為當量單位的倍數。

學生看了一陣子後，有人說出了「顛倒」，發現原本是五分之三，但等號右邊變成了三分之五。

接著，又有人提出了「換算」，原本是除法，結果變成了乘法。

雖然學生提出的用詞沒那麼精準，但是意思到了。透過這樣的歷程，學生發現了分數除法可以用顛倒相乘來計算，而顛倒相乘的意義是什麼？就是換當量單位的倍數，當然學生不能說出這樣專有名詞，但是，會比通分成同分母後，又是交換律又是結合律，有點牽拖的看見顛倒相乘更好。

【關卡6】12/7公尺長的竹子，每3/5公尺做成一支箭，相當於可以做出幾支箭？

把被除數換成分數，意思也是一樣的，可以使用1公尺相當於5/3支箭（顛倒），12/7公尺就是顛倒後的12/7倍，因此變成相乘。

當然，這樣的路徑也有缺點，原本顛倒相乘是簡化通分成同分母後的計算，現在變成了另外一個意義。但，事實上，當量除也是這單元的學習目標之一，只是課本的份量很低，實在很可惜，未來基準量與比較量、比值，甚至於速率都是類似的概念，加以延伸，不只導出顛倒相乘，也為之後的學習奠定基礎，應該是條可以嘗試的路徑。

【關卡7】 2公尺長的竹子，每3/5公尺做成一支箭，相當於可以做出3又3分之1支箭，也就是幾隻完整的箭，還剩下多少公尺？

【關卡8】 1公尺長的竹子，每3/5公尺做成一支箭，相當於可以做出1又3分之2支箭，也就是幾隻完整的箭，還剩下多少公尺？

這兩關就回頭處理餘數問題。結果，學生可以用畫圖來解決。

也可以從圖解想出算式來解決問題。

故事也在這裡要畫下句點，勇士做了足夠的箭，到了靠近太陽的地方，射中了其中一個太陽，從此不再發光，變成了月亮。

從此，天上只剩下一個太陽。

而人們，都非常感謝勇士。