快樂是自找的

2008年12月7日 星期日 下午17:28

十一月中開始作業抽查，翻著翻著看到某位學生的數學習作，發現這位老師批改跟自己的想法不同，頓時感到疑惑，於是在PTT的Teacher版發文詢問其他老師的想法，沒想到就此展開了一連串的爭論。

十一月二十日，我在版上這麼寫著：

最近，看到學校某位學生的數學習作，有幾題是混合四則運算，旁邊要學生寫出直式計算，例如：25*3+18
學生的直式寫


結果被老師打X，說要分開寫成

我的疑問是，這是必要的嗎？
直式算則中，可以直接連著計算下去嗎？


這篇文章的回應比想像中的熱烈，多數老師並不認同學生這樣的寫法。
「嚴格來說是要分開，但是我自己也常偷懶這樣用」
「本來就要分開寫吧！難不成25x3=93」
「不給對+1」
「也有學生這樣寫，我也沒有給對，也解釋過了」
「我最近才挑小朋友這樣的錯誤耶，我個人認為應該要提醒才是，應該說這樣的『情況』才是，說錯誤言之過早，SORRY」
「日常生活中要這樣算當然可以，在數學算式中要講求正確」
「不給對 +1」
「不給對！平常強調，所以月考還扣分扣的特別重，我是跟學生說如果自己在計算紙上寫是OK！自己看的懂就好，可是事實上那不是一個等式，所以如果考卷或作業就不行，為了讓他們改掉壞習慣，所以會用扣分來威脅，後來就蠻有效，其實很多小朋友也知道這樣不行，只是變成一種偷懶的習慣了。另外還有一種是比跟比值的答案。EX: 比為1:2，比值為1/2，學生就會寫成1:2=1/2，他們就會懶的寫比值等於1/2，其實比不等於比值！一堆人寫這樣..他們也覺得我為何大驚小怪」
「同意上述觀點，按部就班還是很重要」
「推e大~兩者最近都剛好教完~一律不給對！」

唯一沒有直接反對的推文是

「我可以問一下，為什麼不行呢？」

很快地，有另一位老師回覆文章寫道：「這很簡單啊！想想看你可以接受 25*3＝75+18＝93 這種式子嗎？這樣算一定是不行的，這位老師很細心，數學計算的一些壞習慣如果沒糾正，以後就會很難改了。」

看完這些回覆，我還是不太滿意，於是我又發表了一篇附加說明，結果，引來了更多的討伐。

上面的直式寫法，就表示25*3＝75+18＝93嗎？會有這樣的疑問，是因為我以前認定直式並非正式的計算式子，那只是讓我們方便計算用的，所以得以簡化，以便快速得到答案。所以，我可以接受這樣的寫法，如同除法的直式算則一般


這也不表示73-50＝23-20＝3而且，也不需要分開寫成


不知道有沒有人贊同我的想法？


「不贊同，直式除法裡面每一層並無相等關係，本來就可接著寫」
「除法和加減法又不一樣，怎可一概而論？」
「有硬凹的fu~」
「同意以上老師看法」
「不贊同，且同意t大的說法」
「有硬凹的fu~ 而且除法直式是正式的計算過程，並非方便而已」
「不贊同+1，建議你最好再仔細研究直式乘法的列式概念」
「兩者不能相同並論 已經不是贊不贊同的問題」
「很離譜的類比」

看來，這篇文章的發表，造成了更多反對的意見，讓我陷入了一種全民圍攻的感覺。接下來出現了另一個更誇張的回文。

很想知道您的身份，是學生家長？或者是安親班老師？又或者是其他身份？關於這個部分其他大大的回文中已經說的很清楚了，觀念也是非常的正確了，就不再多做說明。在這您所說到的是計算的過程而不是結果，您只看到了部分而沒看到全部，這結果最後寫成橫式是可以寫成 73/5=14...3的。

如果您是學生家長，那最大的原因就是為了孩子的分數。可試問，分數重要還是孩子的觀念清楚重要？如果您的孩子真的少了這幾分會影響他一輩子，那我想沒有老師會不願意給這幾分的，但是如果給了這幾分卻讓您的孩子觀念不清楚，那這代價是有點太大哦！或許您覺得有這麼嚴重嗎？就是有這麼嚴重，二十世紀的重要科學理論之一﹕渾沌理論（如果您有興趣可以去研究一下）就告訴我們要多注意微小的細節，否則造成的影響是很大的哦！

如果您是安親班老師，那請您不要再用這樣的方法來教導學生了（因為我曾經遇過這樣的安親班老師，月考出來學生這樣寫我給了錯。學生理直氣狀的來跟我說安親班老師這麼教）。坦白說國小數學真的很簡單，但是它的重點在於觀念的建立而不是結果的計算，從這裡就知道您有些部分的觀念不是那麼清楚，基於教育的良知良能請您再去清楚的研究一下國小數學的觀念，而不是與學校老師對抗。


真不懂現在的社會是怎麼回事，一定要區分群體，然後展開對立的談話？本來只是想要就數學觀念來作討論與釐清自己模糊不清的觀念，結果卻不斷離題，到學校和黃老師述說這件事情，她倒是笑得很開心，叫我趕快上去澄清自己的身份。不過，倒是這時候，有出現了一些不同的意見。

我想，給錯的原因在於題目要求的是「直式計算法」吧！直式的演算中似乎沒看過連續計算的事情（到底有沒有我也不確定，有專業的數學史人員能來說明嗎？）但是直式也正是因為其嚴謹的關係導致速度較慢，所以長大以後課堂或考卷上也不會再要求說「請以直式計算」，能夠心算出來的東西哪還需要一步步用直式算呢？所以，給錯的那位老師我想他思考的是「要如何讓學生使用直式來計算。」那當然，如果這在中學以上給錯的話我只能說是沒意義的事，在國小階段，我想還是先讓小孩熟析一步步的計算順序的邏輯比較好吧！

另一位網友則回應

直式計算真的是正統的寫法嗎？那橫式呢？還是一種能快速計算出答案的方式？各國的直式計算寫法都一樣嗎？這是我長久以來的疑問～因此，我都強調小孩子一定要列橫式，反而直式的計算只用於計算題時使用，算應用題時都希望小朋友能用橫式列式，用意在於看起來比較整齊，而且到了以後四則運算比較不會搞亂～（我教的是中年級)不過，要常提醒小朋友記得列橫式，很累～不知道我這樣的作法，對嗎？

這位網友倒是給我徹底離題了，用我的標題講別的事情。


十一月二十一日，一名網友這樣回應了。

其實直式算式中，連續寫並沒有錯。就看班級老師的規定，是要分開寫還是可以連續寫（但要跟孩子解釋為什麼直式可以連續寫，橫式卻不行）。在數學算式中，為什麼橫式不能連續寫，因為橫式所用的符號是「=」，「等號」代表的意義是「等於」，兩邊要相等，左右兩邊是等價關係的，因此不能連續寫下去。但直式中的「___」，所代表的意義是「得到」的意思，上和下並沒有絕對的等價關係。也因此除法直式可以一直寫下去的原因。至於對齊問題，在直式中，除非在有定位板之下，才需要所謂的對齊，不然，其實是可以不用對齊的，因為直式只是在紀錄小朋友「自己」的算則過程，只要自己看得懂就好。但為什麼一定要強制孩子對齊呢？因為（1)能夠與別人溝通，不然別人看不懂你在寫什麼。（2)老師好改^^

雖然不是完全認同，但是這名網友認為那條橫線是「得到」，而非「等號」，依此邏輯去解釋除法直式就可以通了。看見可以解惑的答案出現，心裡自然十分雀躍，於是又發表了一篇文章。

感謝各位老師的分享與討論，讓我在這部分的模糊觀念逐漸明朗，先回應deagray大大，我不是安親班老師也不是家長，我是國小自然科任教師，雖然是數學教育學系畢業，但已經多年沒有教數學了，所以，看到老師這樣批改時，心裏總覺得怪怪的，跟我認知的直式意義並不相同，但，我相信老師這樣要求，一定有他的原因，或許是數學的直式定義上，有哪裡是我忘了，或是在這裡連續寫時，會造成學生某種迷失概念，對於未來銜接某一部份會有困難，因此po上來請教各位先進。

看到多位先進並不認同我的觀念，著實令我嚇了一跳，莫非我的印象認知是錯誤的！所以，我試著去找尋相關資料，重新翻閱了手邊的「國小數學科教學研究」、「數學誕生的故事」、「數學奇觀」、「說數學故事」等書，本來希望從書中找到直式的蛛絲馬跡，令我訝異的是，對於直式計算的部分，談的是少之又少！因此，今天到學校後，去看了其他年級的習作，並且找資深老師討論，我整理一下今日所得。

我第一篇題目po的是四年級數學習作的題目，教的是乘與加減的併式，但事實上令我有疑惑的源頭是六年級康軒「數學習作2」第22頁。題目是「求商到整數位，再寫出餘數，並驗算。」

（1)69.85÷7.2

學生在下面寫了



結果老師在驗算那裡打了X，要求分開寫。當時我在想，如果是我的話，可能會給對吧！但是，為什麼一定要分開寫呢？是不是有迷失概念或抵觸了直式某項規則呢？我去找了四年級數學習作，學校使用教育部審定版，在習作第49頁「習作5-7 乘與加減的併式」中，題目是「李老師買了一些鉛筆，分給26位小朋友，每位小朋友分到5枝，還剩下12枝，鉛筆原有幾枝？」題目其實沒有規定要寫直式，不過學生還是在旁邊寫了直式，在我拿到的這本裡，學生倒是都分開寫，所以沒有問題，如果此時有學生是連續寫，我該給他錯嗎？給他錯的理由是什麼？如果是因為等號關係，那麼如何去解釋除法的那一條線？用除法跟加減乘不同，所以這些直式算法不能一視同仁的說法，個人覺得似乎缺乏說服力。

今天放學後，跟一位資深老師討論，老師說，若是他的話，他不會給錯，他認為直式只是個過程，學生到了國中之後，呈現在考卷上的都只是橫式了，直式只是學生在計算紙上求快速的方法。而小學直式的教學重點主要在（1)對位要整齊，避免計算出錯誤的答案（2)在五年級則有被乘數與乘數的尾數有0時，可以直接放下來的簡便作法（3)小數乘除法時的小數點位置問題要注意。但，並沒有規定直式不能夠連續寫下去的教學目標，也想不到不能的理由。資深老師說，在以前國編本時代，六年級開始就要求學生只留下橫式了，以前的學生直式怎麼寫，都不是老師要看的重點了，因為橫式才是最重要的。

感謝neonman的說法，那條線是「得到」而非「等於」，我還蠻認同這樣的想法。也感謝各位先進提供意見與想法。歡迎大家再交換意見，謝謝！


寫了這麼長的一篇文章，結果推文居然頓時安靜下來，只有一個人回應，他的回應還不是針對數學教育，反而挑出了我一個錯字。

「"牴"觸 非"抵"觸」

頓時間，我變成的囧男孩。


十一月二十四日，終於有人回應了。

在我國小（民66~民72)，老師開宗明義就說直式運算是「不嚴謹」的運算，主要是用來運算以及分析用。因此在國小三年級以後的應用題答題就直接要求「不准用直式寫答案」。（也就是說，直式是出現在考卷背後的東西，愛怎麼寫隨便。）活到快四十歲第一次看到「直式」與「嚴謹」兩個詞扯在一起，真是怎一個囧字了得。（不能一路寫下來的直式，遇見混合四則運算就不用寫了，連紙都不夠用了也）

居然有資深老師回應，而且提到以前版本的數學教材，莫非以前的數學教材會有提到相關訊息？於是去翻了以前的教師指引後，我再發表了一篇。

原來以前的教學指引有提到......82年版第3冊教學指引P.162：在直式記錄中的橫線，代表活動的區隔，不必然具有等號的意義。採用解題過程視窗觀點，旨在告訴教師，對於視窗內的內容不必太要求其呈現格式，這些內容就如草稿一般，並非正式的呈現。

同一天晚上，那位質疑我是家長或安親班老師的網友也回應了。

嗯…既然你回應我了，那我也應該回應一下，我所以會問你是安親班老師或家長是因為﹕我個人是認為如果到了國中以後你要連著寫我沒有意見，但是在我剛開始教學時我希望學生搞清楚，所以我會在上課時特別強調，要分成二個式子來寫（當然私底下我自己在計算也都是連著寫）。不過我就遇過學生…一直到了月考我扣了他分數了，才跑來跟我說安親班老師說可以﹗跟我要分數的，這分數也不是不能給，但是我不希望學生靠著補習班安親班有在教數學，所以上課就不需要專心聽，要他們式子分開來寫在上課我講了不下十次…，小考時也考過，他卻到了月考才發現問題。我覺得這是另外一層的教育了，而不只是在問題的表面，也曾遇過家長為了孩子的分數，來為題目做解釋的。所以我才會有此問題，事實上有些時候看到老師批改的結果，你必須要去看老師上課時是如何要求的，而不只只是去研究結果。

我也曾上過因數倍數，上課特別要求學生不要用短除法，可是還是有學生用了，我直接給了他一個「錯」，那是否真的不能用短除法呢？並不是如此…只是他們的心智還不足以如此使用，如此而已。不知道我的想法你能不能接受，大家都是為了教育，一起研究研究。

結果這次，倒是這位網友被圍攻了。

「在什麼題目佈題下...為何不用短除法？」
「想問的是，如何判定學生「心智還不足以如此使用」？」
「短除法課本有教啊，為什麼不能用？說實在的，有時候有些老師的奇怪要求，和後續教學是起衝突的」
「不贊同你的思維，一昧的要學生模仿你的動作，只會讓他們更不知道自我去思考，而且你只是以『老師』的權威去壓他，而不是一個真正的錯誤的理由去告訴他」
「以短除法來說，小五是還沒教的，課本也未提及，但補習班和安親班都會教。部分老師也會教，我自己也陷入天人交戰，因為出題老師可能會出很大的數字，後來我還是沒教，因為他們剛學因數、倍數，有些小孩根本不了解意思。單純就看到題目，就開始用短除法，我覺得並不恰當，純個人想法。其實高年級數學，疑問還蠻多的，版上也常討論但都缺少一個定論。我問我們學校數學博士，也都四兩撥千斤。唉～」
「小五沒教，小六才教，我也覺得先一個個找觀念會比較清楚」
「如果小朋友會用，就讓他們用」

這名網友則再回應

小五還不會去教短除法，到了六年級才會教。小五就讓他們使用短除法才是P大您所說的模仿，教數學本來就有一些原理原則是直接教授的，但是有些是可以理解的，直接教授的部分我也無能為力，就好像數詞序列是固定的1、2、3、4、5。無法使用理解的方式，但是可以理解的部分我一定會讓學生在可以理解的範圍內知道為什麼而不是強壓著他去記憶，以我舉的因數例子來說，因數的觀念是固定的無法理解，而短除法是可以由質因數分解而來的。我會在他們熟悉質因數分解後才去教用短除法求最大公因數，至於什麼時候熟悉質因數分解？月考完吧！我的教學是連續的，不會因為月考而結果，我會利用每週三的時間不教新進度，而是去複習以前的課程，而這過程中會再加入一些新東西，一些學生已經能夠理解的東西，因為我也是數教系的，在學習歷程中，也曾在學習時遇過以後的老師教的跟以前老師觀念不同的事，所以我只是把他們的基礎打好再去教更快速的成人算則，絕不是告訴他們這是錯誤的算法。只是要他們能在使用工具的同時盡量能夠知道「為什麼」

當天更晚一點的零點，另一名網友針對這篇文章回應了。

先聲明，我是小學老師，以下是大學時代兼差當家教遇到的。有時候有些老師的教法，會造成學生後續學習的困難。像我就遇過，小學老師告訴學生，數字相減，絕不可以小減大，絕對不可以喔！還很強調、很強制，但卻沒有說明原因，沒有為小孩的學習留後路，後來這孩子到了國中，學到負數的概念時就跨不過去，因為小學老師給他的印象太深刻了。有些教法，在短時間之內可以提高成績，因為小學階段不教負數的概念，所以那時候照著老師教的去做，考試可以考得很好。但因為概念建立錯誤，影響了後續的學習。

老師如果因為學生不太會使用而強制學生不可以使用某些算法，我覺得是ok，但理由如果是什麼心智發展之類的，那倒不需要，因為學生用對了、後來用久了，再去解釋算法，反而更容易吸收。後來我自己當老師，期許自己不要這麼做，教學，真的可以不必那麼死板，一味排斥其他做法的。

「是的，所以國中老師常說『國小老師都騙你們的』」
「當一些人是大小不分的亂列式，小減大出來的答案卻是標準答案時，要如何糾正這些人的觀念？當然還是要要求大減小的觀念，我們也很期盼小孩子有不同的算法，但是有些算法卻是邏輯不通，或者是大人強迫教的觀念，小孩子無法吸收理解時，還是要靠大人給予一套合理的算法，當然如果孩子自己可以解釋我還是會接受！」
「那是另一個問題了，看了解答而應湊出答案的算式不給分的。但扣他分是因為他亂湊答案，而不是因為小不能減大喔！」
「認同！課本是死的，教學是活的」

一點二十一分，又有一名網友回應了。

我是路人甲，看到這一系列有感而發，我本身是學控制的，也不是老師，目前最討厭的事就是--那是公式，請背起來；那是公式，程式碼照打就好；公式，是需要推導的。推導必須使用數學符號（或數學邏輯、數學語言）。我知道推導很累人，也許推導可以用一些生活中的例子加以解釋，使得在教育上能夠較為容易。但，不管例子再怎麼生動，再怎麼貼切。都比不上推導來的詳盡。我知道推導很難，我也知道有很多推導，我不找資料會推不出來。但是，真正要教的是這些推導。只有透過推導，才會了解，了解到這個公式的意義。定義，則必須要完全闡述，當初發明人士為什麼會想用這個數學式來表述。

Ex:　為什麼標準差是，各項與平均值差之平方項之和？
A: 取平方是為了表示絕對的誤差，各項的絕對誤差之和，則代表這數列，與這數列之平均值離異的總程度。（我相信，標準差的定義有很多種，這裡只是略舉一種。）

至於算法不同，對於很多投機的算法，在某些程度上來講是很重要的。我們可以打開一些高階的影像處理工具，一定會有用到Descrete Fourier Transform。但，使用DFT做轉換，時間慢的嚇人。因此後來引進了 FFT，（Fast Fourier Transform），一模一樣的演算法，但是透過重新排列，可以少掉好幾倍的加法跟乘法。我並不是要炫耀甚麼，也不是要諷刺甚麼。

「你應該想的是為什麼標準差要用平方而不是絕對值」
「絕對值很難算好像是原因之一」
「以自己的了解 亂掰一下 XD 之所以不以絕對值是因為極端值，較容易展現的關係」

這時候，我終於發現，跟老師講話原來這麼累，動不動就離題，談到教學，大家可以講的範圍實在太廣了，也讓問題總是無法聚焦，幸好，下一篇有回到問題本身。

其實在數學裡面並沒有對於「連續的」直式運算有一種標準的定義方式，所以基本上「----」這符號目前就依各老師的方式詮釋。重點就是身為一個輔導或是家教，安親班老師有個道義，就是要了解自己扮演的是一種輔導的腳色，如果可以，能夠了解學校老師的教法再配合最好（雖這是天方夜譚），但就我而言，我是會這樣切入的。板上有板友斬釘截鐵的為這直式運算賦予定義，實不知所謂何來？這樣的行為基本上跟安親班教師無異。至於有板友提到，那 14- 3*10 = ？如何運算？我想，應該說這樣的先乘除後加減的概念， 早就已經在直式運算的後階段，根本不該相提並論！正如同以往有許多教師在教授「某數」的單元時，會嚴格要求「某數」必須在等號左邊一樣。迫使所有應用問題的思維，都要配合「某數」的位置而改變，如果說為了呈現直式運算在橫式運算上的不足，而做這樣的舉例，那我想是不合適的。

這位網友把焦點拉回來了問題本身，卻似乎想當和事佬似的，我對於他所說的「依照各老師的方式詮釋」倒是有些不滿，明明已經說清楚那條橫線的意義，卻還是下這樣的結論！那這一串討論簡直就是假的一樣！於是，最後我又發表了一篇。

謝謝你的回應！但是，你只有說學生不能連續寫直式的原因是「老師規定的」，但，你還是沒有提到為何「老師要規定」？這是我想要知道的，老師會這樣規定 一定有原因，而且這個原因，是單純從數學學習的認知學或心理學上來考量的，請撇開安親班或上課有講等其他議題，謝謝解惑。

不過，十一月二十七日發表的這一篇已經不再有人回應了，不知道是因為無戰可爭了，或是已經認同某種結論了。當老師越久，總覺得越要警惕自己，習慣某種批改方式，其實已經違背了數學本質，隨時要回頭檢視基本面，才不會誤人子弟。感謝這段時間網友的你來我往，從中也獲得不少經驗。