「記得上學期學過的分數嗎？把一個圓平分成八份，其中的一份，我們稱作什麼？」
「八分之一」
「那麼，現在看看桌上，我拿出來了幾個圓？」
「八分之二」
「為什麼是八分之二個圓？請寫出你怎麼想的。」
「因為是1個圓平分成8份，其中的2份。」先請一個回答最完整的跟大家分享。在分數的意義中，學生最先接觸到的，就是部分與整體的關係，先前修林碧珍教授的課，有一段提醒，一直深入腦中，那就是建立分數最初的概念時，有三個問題要頻頻問孩子。
「什麼被分？」「1個圓。」
「怎麼分？」「平分成8份。」
「其中的幾份？」「其中的2份。」
這三個問題分別指的是「八分之二個圓」的整體一、分母及分子的意義。第一個問題提醒的是整體一在哪裡，第二個問題是分母的意義，第三個問題是分子的意義。
所以，這個孩子寫的「因為一個圓裡面其中的兩份」，可以如何修改得更完整？就看看能不能回答剛剛那三個問題。顯然，第二個問題「怎麼分」，這一段話並不能回答。
先修比較簡單的，接著再一起修比較難修改的。在今天這堂課要進行新課程前，先確認孩子的舊經驗都是正確的，不然，待會兒新概念進來的時候，就會一片混亂、難以收拾。
「那麼八分之三呢？」在桌上，把八分之三從一個圓中撥了出來，繼續追問孩子，這一次，能夠從三個問題去思考部分與整體關係的就多了許多。甚至有孩子會說：「這是八分之三個披薩，所以是1個披薩被分。」
追問「怎麼分？」
「平分成8份」
「其中的幾份？」
「其中的3份。」
原本寫「因為一個圓裡面其中的兩份」的孩子，在上一題漏掉了分母的意義，但這一次，就進步多了。「因為一塊大餅分成八份大餅的其中三份」，透過前一題，學生跟學生修正，知識系統就建立起來了。
雖然少了「平分」兩個字，但是寫出來的是「因為是一個圓切成8份的3份」，也有九十分了。那麼，誰可以繼續解釋一下，八分之四個圓？八分之五個圓呢？....
部分整體的概念複習好了之後，接下來，進入新的概念，也就是分數的第二個意義─單位分數的累加。
每個人的手上，都拿到了一個八分之一個圓，找人湊成兩個，這時候，總共有多少個八分之一？兩個八分之一。將這兩個八分之一擺到圓上面看看，跟幾個圓一樣大？
兩個八分之一合起來，會跟八分之二一樣大。那麼，再來一個人，湊成三個八分之一，合起來又會跟幾個圓一樣大？
八分之二和兩個八分之一一樣大，八分之三和三個八分之一一樣大，那麼，八分之四呢？
一邊拿著八分之一當作記數工具，一邊說著累加起來的結果，讓他們從分數的第一個意義─部分與整體的關係，擴充到分數的第二個意義─單位分數的累加。
擴充到分數的第二個意義─單位分數的累加，就可以談分數的加減乘除了，也可以避掉一些容易出現的迷思概念。
像是八分之三加八分之四等於多少？
如果從「部分-整體」來講，學生很容易先畫一個圓，平分成八份後，取其中的三份，接著看到八分之四，就再畫一個圓，平分成八份，取其中的四份，然後就會看到兩個圓，總共有十六等份，取其中的七份，寫下十六分之七的答案。這個迷思概念要處理，就得從「整體一」著手，對於後段學生，處理這一段非常辛苦。
但是從「單位分數的累加」來講，八分之三就是拿出三個八分之一，八分之四就是拿出四個八分之一，合起來就是七個八分之一，答案會自然寫下八分之七，顯然，這條路孩子容易理解多了。
這就是把分數的運算，盡可能向整數系統看齊，把每個分數都當作單位分數的累加，將單位分數作為記數單位。接著，遇到小數的時候，也是同樣的思維，0.3+0.4就是3個0.1和4個0.1，合起來就是7個0.1，也就是0.7。
關於這部分，英語系的語言似乎就沒有這問題。「八分之七」在中文來看，就像是兩個數的關係，先念分母、再念分子，無論分母或是分子，都是一個整數，沒有單位分數的概念在。但是，英文的念法是seven-eighths（七個八分之一），很自然地就會出現單位分數，所以英文的八分之三加八分之四，念起來就是Three-eighths plus four-eighths，三個八分之一加四個八分之一，自然就寫出七個八分之一，而不會寫出十六分之七。
也因為中文的語言，八分之三就像是兩個數，念起來沒有單位分數的存在，所以，我們修改了蔡寶桂老師的數學奠基模組─分數心臟病，讓學生能精熟「單位分數」與「真分數」的關係。使用的是新竹縣數學輔導團研發的「分數撲克牌B套組」，裡面有八分之一到八分之八共八種牌，每種牌的張數不等，總共有90張牌。當我翻開一張牌的時候，學生要告訴我它跟單位分數的關係。比如說，「八分之五」就是「五個八分之一」；「八分之三」就是「三個八分之一」；那麼，看見「八分之七」的時候，應該要說什麼呢？
接下來的玩法，就跟心臟病一樣了。將牌平均分給每個人，輪流丟牌，並且念出「一個八分之一」、「兩個八分之一」、「三個八分之一」等等，如果念到「五個八分之一」，剛好出到「八分之五」的話，大家就要拍桌上的牌，最後拍牌或是最先拍錯的人，收走桌上的牌，最先丟完手牌者獲勝。
因為牌卡最大只有到八分之八，所以念到「八個八分之一」後，下一個人就會回到「一個八分之一」，畢竟三年級，還不需要到假分數去，藉由這個遊戲，精熟分數的第二個意義，對接下來分數的加減法與比大小，能夠自然而然用整數系統去思考，就是成功了。
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