萬聖節─五年級面積畫高問題 @ 快樂是自找的

這是一個花蓮跨校教師社群的教學案例，由秀林鄉三棧國小、吉安鄉宜昌國小、吉安鄉化仁國小、光復鄉大興國小、富里鄉永豐國小的老師組成的五校奠基進教室聯盟一起共備，在萬聖節當天，由化仁國小佩珊老師進行的教學案例。

現行的三個版本，都有一頁的篇幅，處理平行四邊形的畫高問題，只是這一頁是放在課程脈絡中的第幾個活動，就略有不同，有的是在平行四邊形切割重組後，才定義高；有的是先定義高，接著學習畫高，然後才切割重組，處理平行四邊形面積公式。無論哪一種順序，相同的是，學生在「畫高」存在不少迷思，而畫高問題，不只發生在平行四邊形，還發生在三角形。為此，我們將「畫高」問題調整到最先解決，而且同時解決平行四邊形和三角形的高，然後才處理面積公式的推導。

上週正好是萬聖節，我們搭著這個主題發展課程，先跟學生聊聊萬聖節的由來，那可以追朔到2000年前，在不列顛島上，住著一個民族叫做賽爾特（Celt）。如果學生對於NBA（美國職籃）熟悉的話，還可以提到波士頓有個籃球隊叫做賽爾蒂克隊（Celtics），紀念從不列顛移民到美國的塞爾特族。

「賽爾特人（Celt）認為10月31日是夏天的結束、冬天的開始。」在高緯度的國家，夏天跟冬天的日照時間是相差非常多的，當黑夜特別長的時候，讓人特別感到害怕。

「這一天是人間與鬼界的界線最薄的時候，各種鬼將會到人間走動，稱這一天是鬼節（Samhain）。」

「賽爾特人為了嚇走這些鬼，每到這一天，就會戴上面具。」扮鬼，是為了嚇鬼；扮鬼，也是為了宣告我們是同一國的，鬼就不會加害於我。

「1300年前，基督教認為這些鬼魂也是聖徒，將11月1日訂為萬聖節，紀念這些死去的聖徒。」原本被人們害怕的鬼，也就成為受到祝福的聖徒。

「當時，愛爾蘭人有個習俗，會用糖果布施亡者。」這時候的愛爾蘭人就住在不列顛島附近，因此不列顛島的戴面具習俗，和愛爾蘭人的用糖果祝福亡者的習俗，開始融合了。

「於是發展出一種習俗。萬聖節前一晚，打扮成鬼去一家一家要糖果，並且以禱告回報。」到這裡為止，是介紹萬聖節及萬聖夜的由來，而數學思考，就從這裡發展出任務。

「這一年的萬聖節，許多鬼都照例要到人間走動。」除了有人形的鬼，這時也參雜著平行四邊形鬼、三角形鬼、長方形鬼。準備藉由人形鬼來學習平面圖形的鬼。

「今年人間多了一個習俗。小鬼可以四處串門子，大叫Trick or Treat! 至於大鬼則必須準備糖果，分送給小鬼。」

「為了區分大鬼、小鬼，這裡有個身高限制，超過10公分的歸類為大鬼，不到10公分的歸類為小鬼。」就像是公車用身高區分半票、全票；又像是遊樂園的身高限制，不到規定身高的不能玩，超過才可以玩。用身高來分類，決定你可以做什麼事，或你不可以做什麼事，這是學生習慣的情境，於是，「怎麼量身高」成為第一個探討的議題。

要測量出正確的身高，要讓身體靠在牆壁前，緊貼著測量尺，從頭頂量到腳底。

「只要從頭頂量到腳底，就是正確的身高嗎？如果墊起腳尖呢？這樣也是從頭頂量到腳底，可以算是正確的身高嗎？」這是一個關鍵問話。

「不行，腳底板要貼齊地面。」學生說出來的這句話，是重要的關鍵，我們要靠這句話，解決一些平面圖形的迷思。

提供給學生的測量工具是平方公分板，學生熟悉的工具，之前是用來點數面積用，對於每一格的邊長是一公分，是自然就可以拿來運用的。將各種鬼放到平方公分板上，看看身高是否超過10公分，如果剛好或超過10公分，就會放到大鬼區，如果不到10公分，就會放到小鬼區。

人形的鬼有兩隻，讓他們從真人的立體量身高過渡到平面的量身高。因為「量身高」應該是從地面量上去，平行圖形放在桌上，並沒有厚度，要說在桌上的哪一條線叫做「高」，都不是自然的。因此，藉著人形鬼，讓他們自然接受，我在桌面量出來的這條線，也可以叫做「高」。

常見的迷思，是學生會把對角線當作高，這也是仍然帶著「平面圖形怎麼會有高」的想法，來處理平行四邊形的高，就自然覺得「高」的意思相對於「矮」，就是要找最長的一條線。

這時候，老師可以適時提問。
「量身高的時候，墊腳尖的身高算是正確的高嗎？」
「不是。」
「要量出正確的高，要怎麼辦？」
「腳底板要貼齊地面。」
「平行四邊形鬼的腳底板有貼齊地面嗎？」
這其實也會是許多學生的迷思，更適合全班討論時，讓大家都能從量身高去思考平行四邊形的高，為什麼不能用對角線代表。

初步分類完之後，接下來要確認分類是否正確，因此需要幫每個鬼都畫出「高」，並且在旁邊寫在數字，讓人家一看就知道，這些大鬼是否都符合身高滿10公分，那些小鬼是否都符合不滿10公分。

請學生上台示範畫高的時候，是個很適合將「高要垂直於腳底板」帶出來的時機。提供學生直尺、三角板為工具，希望學生從剛剛藉由平方公分板，幫每隻鬼點數高度時，意識到他們在數的，都是底邊的垂直線。在畫高的時候，自然會畫垂直線，而這時候，也可以稍微歪一下，詢問這樣是正確的身高嗎？為什麼歪掉就不行了？如果沒有歪掉才可以，那麼「高」跟「腳底板」應該要有什麼關係？

學生開始幫每隻鬼畫高，並且標出身高。這時候，其實就是課本內要讓學生做的，反覆練習畫高，只是，這時候雖然也在反覆練習畫高，但學生一點都不覺得在寫習題，而是在做一件有趣的事情。

而且，每一個平行四邊形或三角形的高，都畫得很標準呢！

各組畫好高之後，將大鬼貼到黑板的左邊，小鬼貼到黑板的右邊。有趣的事情發生了，有一隻平行四邊形鬼居然有的組分到大鬼，有個組分到小鬼，為什麼？

當例子夠多的時候，學生可以藉由觀察例子提出數學想法，這些數學想法都是珍貴的寶石，那是課堂上，學生與學生之間共同建構數學概念的契機。

「把平行四邊形放正是小鬼，把右邊的角朝上，然後底放平，是大鬼，所以我把它分到大小鬼。」從這裡，就可以帶學生去比較「平行四邊形鬼」和「人形鬼」的不同，「人形鬼」有明顯的腳底板，而且是唯一，但是「平行四邊形鬼」可以有兩種腳底板，選擇不同的腳底板，就可以量出不同的身高，所以才會有人分到大鬼去，有人分到小鬼去。

同樣的情況，在三角形鬼也有，三角形鬼還有可能有三種腳底板以及三種高。而「腳底板」和「身高」這兩個過渡性的名詞，也在多次討論過後，可以慢慢功成身退，開始引進「底邊」和「高」去取代。佩珊老師協助學生從「腳底板」到「底邊」有著精彩的對話。

師：你要選哪一個當作腳底板？
生：（手指其中一邊）這個當作腳底板。
師：把這一邊當作腳底板，我們給它一個名字，你會怎麼叫呢？
生：（思考中）嗯......腳邊！
師：可是如果叫它腳邊，會不會跟這個角搞混啊?（手指著其中一角）以後當你說腳邊的時候，我會搞不懂你在說角還是邊耶！
生：（靦腆的一直傻笑）
師：你再想一想，從腳！底！板！（加強語氣）思考這個邊的名字。
生：（恍然大悟）啊！是底邊！（孩子的臉上突然閃亮起來）
師：（興奮不已但要冷靜）很好的名字，你在哪邊有學過底邊？
生：等腰三角形也有底邊！
師：沒錯，所以在四邊形也可以有底邊的！現在你再畫一次高吧！
生：（畫出正確的高）好了！