快樂是自找的

「今天，老師要送給每個人一盒鑽石。」
「YA！」
這一堂課，我們要從歡樂的氣氛中展開。當然，給的不是真的鑽石，而是撲克牌的方塊6的圖卡（撲克牌的方塊又稱做diamond）。

一開始，每位學生會拿到一盒鑽石，這是每個人的本錢。

帶著你的鑽石，找尋一個對手，進行鑽石爭奪戰，爭奪的方法自然不是強取豪奪，而是一對一進行猜拳。猜拳獲勝者，可以獲得對方手上的鑽石，猜拳輸者，失去手上的鑽石。

第一輪猜拳結束後，全班應該只有兩種可能，一種是獲勝而多得一盒鑽石，一種是落敗而失去鑽石的人。

師：剛剛獲勝的請起立，你現在有幾盒鑽石？
生：2盒。
師：你的鑽石數量是原本的幾倍？
生：2倍。
師：6顆鑽石的2倍是幾顆鑽石？
生：12顆。
師：以算式記錄下來，該怎麼記錄？
生：6×2＝12

師：請獲勝者坐下。剛剛落敗的請起立，你現在有幾盒鑽石？
生：0盒。
師：你的鑽石數量是原本的幾倍？

學生遲疑了，有人說0倍，有人說沒有倍，還有個資優生說-1倍，在資優班看過-1之後就拿來用，這似乎是許多快速學習者的通病，會說之後學習的數學名詞，但其實並不明白那是什麼。在大家七嘴八舌的拋出許多想法，卻沒有共識的情況下，要每位小朋友把小白板拿出來，自己寫下自己的想法，這時候需要安靜一下，讓學生把自己的思緒整理一下。沉澱一下後，大家都寫下了0倍，很妙的是，理由幾乎都是6×0=0。

命運之神並沒有遺棄落敗群，對於手上沒有鑽石的人，無償提供鑽石，以展開下一場的鑽石爭奪戰。只是，提供的不是完整的一盒鑽石，而是幾盒鑽石呢？

多數學生說是六分之二盒鑽石，少數學生說也是三分之一盒鑽石。會說「六分之二盒」的學生，是看到一顆一顆的鑽石總共有六顆，現在盒子裡只有兩顆，所以是六分之二盒；會說「三分之一盒」的，則是看到老師在盒子上面畫了三份，其中的一份。

帶著你手上的鑽石，去找人決戰吧！猜拳獲勝者，可以獲得對方手上的鑽石，猜拳輸者，失去手上的鑽石。如果手上有兩盒的人，則只需要拿一盒出來對決就可以了。這一次對決的結果，記錄在任務三。

兩次決戰成功的，手上的鑽石變成了二又三分之一盒，這時，鑽石數量會變成本錢的幾倍？學生能寫下二又三分之一倍，但是有些人在算式紀錄停住了。

在6顆鑽石的2倍時，可以自然寫下6×2，但是6顆鑽石的二又三分之一倍時，卻寫不下6×2 1/3。這是意料之內的現象，畢竟之前學過的分數乘法，都是「分數乘以整數」，那都是整數倍的情境。這次，是首次遇到分數倍的狀況。遊戲中，先讓學生可以用自己的想法寫下，自己覺得該如何用算式紀錄，在更多次經驗後，再來整理想法。

到目前為止，其實都是利用遊戲讓學生蒐集例子，製造出夠多的例子後，才容易發現更多、更完整的數學想法。到目前為止，已經有整數倍、0倍、帶分數倍，還缺單位分數倍以及真分數倍。

就是有人這麼倒楣，本錢先輸掉了，接著，命運之神給的鑽石也輸了，在兩場爭奪戰後，手上依然是空無一物，但，命運之神依舊沒有遺棄，決定再提供手上空無一物的人鑽石，不過，跟剛才不一樣。

師：這是幾盒鑽石？
生：三分之二盒
師：為什麼是三分之二盒？
生：因為他是平分成三份，其中的兩份。
師：沒錯，還有其他說法嗎？
生：...
師：他跟三分之一盒有什麼關係？
生：他是三分之一盒的兩倍。
師：很好。（複習真分數是單位分數的累加，有助於數學想法的萌芽）
生：為什麼剛剛給得比較少，這次給的比較多？（但學生總是會注意到其他事情）
師：命運就是這樣嘛，有時候運氣好，有時候運氣比較不好。

最後一場鑽石爭奪戰，有了「風雲變色」的規則出現。一分鐘內，帶著你手上所有的鑽石去找人無限次的對決，猜拳獲勝者，可以獲得對方手上所有「完整盒子」的鑽石，猜拳輸者，失去手上所有「完整盒子」的鑽石。如果手上有二又三分之一盒鑽石，一旦輸了，就要把兩盒給別人，如果手上只有三分之一盒鑽石，一旦輸了，也不需要給別人。

在這一回合，為了讓1/3盒和2/3盒的真分數倍可以出現，遊戲規則的設計，要讓整數全部流動。

這一回合結束後，紀錄手上剩下幾盒鑽石，鑽石數量是原本6顆鑽石的幾倍，並試著用算式紀錄。

每個人在鑽石爭奪戰中，都做了四次的紀錄，開始進行彙整，將學生所造的例子進行有計畫的排列，排列的同時，也將對剛剛紀錄時猶豫不決、看著1/3盒鑽石許久，即使知道鑽石數量變成1/3倍，仍不敢寫下6×1/3算式的狀況進行澄清了。

在黑板上畫了一個大大的表格，也將鑽石卡放大，以便展示在黑板上，讓全班都能從「圖像表徵」連結到「算式表徵」，讓「分數倍」產生具體圖像。

全班共同整理遊戲中產生的例子時，無論是6的1倍，紀錄為6×1=6；或是6的2倍，紀錄為6×2=12；還是6的3倍，記錄成6×3=18。上來書寫的小朋友都毫無猶豫，走到黑板的另外一邊，6的1/3倍，從學生紀錄中，找到寫下6×1/3的學生，請他把這個記錄寫在黑板上，此時，全班此起彼落的「啊？」出現了。

是的，分數倍首次登場了，一上場就讓全班的臉上出現了好多問號，「6×1/3？好像怪怪的？」「可以這樣寫嗎？」這裡有兩個心理障礙需要排除。

第一、學生沒有看過「分數」寫在「乘數」位置的情形，於是，帶著學生從「整數倍」過來，希望透過一致性的語言，讓學生自然而然看到算式的產生。

師：當我有1盒鑽石時，鑽石數量是原本6顆的幾倍？
生：1倍
師：6顆的1倍，列式為？
生：6×1
師：當我有2盒鑽石時，鑽石數量是原本6顆的幾倍？
生：2倍
師：6顆的2倍，列式為？
生：6×2
師：當我有3盒鑽石時，鑽石數量是原本6顆的幾倍？
生：3倍
師：6顆的3倍，列式為？
生：6×3
師：當我有1/3盒鑽石時，鑽石數量是原本6顆的幾倍？
生：1/3倍
師：6顆的1/3倍，列式為？
生：6×1/3....咦？

第二、學生從鑽石的圖像中，看見了1/3盒是2顆鑽石，6顆鑽石變成2顆鑽石是變少的，列式時卻是寫「乘號」，在過去三年多的數學課裡，學生接觸的乘法都是越乘越多的，除法才是越除越少的，這裡怎麼會是乘呢？

當大家仍然是不敢大聲說6顆的1/3倍是2顆，可以記錄成6×1/3=2時，我決定請小朋友打我手心一下。

或許小朋友這時候心裡想的跟包龍星和有為一樣，「是你要我打，我才打的喔，像這種要求我這輩子沒見過」（看不懂的話，請複習周星馳電影—九品芝麻官的臺詞）。於是，小朋友輕輕的在我手心打了一下。

我裝作被打得很痛的樣子說：「你打我！我...我要加倍奉還。」

師：請問，我說這話是什麼意思？
生：要用力打回去。
師：我要打回去，而且我要打得比他打我的力氣還要...
生：大

我再請小朋友打我一下，我：「你打我！我...我要一倍奉還。」

師：請問，我說這話是什麼意思？
生：跟他一樣
師：我要打回去，而且我要打得比他打我的力氣還要...
生：一樣

我再請小朋友打我一下，我：「你打我！我...我要零倍奉還。」

師：請問，我說這話是什麼意思？
生：你不要打回去
師：哦，所以，我說加倍奉還、一倍奉還跟零倍奉還，雖然都有倍，可是打回去的力氣有可能比較大，也可能一樣，還可能比較小，小到沒有打回去。

我再請小朋友打我一下，我：「你打我！我...我要三分之一倍奉還。」

師：請問，我說這話是什麼意思？
生：你只能用三分之一的力氣
師：那我打回去的力氣，比他打我還要大還是小？
生：小！

為了讓沒有過「分數倍」經驗的學生，接受6×1/3=2的算式紀錄，我們用了「從整數倍的一致性語言過渡到分數倍」、「從幾盒到幾倍」、「由學生製造更多例子」、「從語文的加倍奉還」，希望提供學生更多的經驗。

同樣的題目，有人列式為6×1/3，也有人列6÷3。此時，請列式為6÷3的學生上台分享。不過，這位學生是直覺寫下算式，不知道該如何說，於是靠全班接力，把6÷3的意思講出來。

生：6÷3就是將6顆鑽石平分成3份，每份是幾顆。
師：那麼6×1/3呢？
生：6顆鑽石平分成3份，其中的1份
師：這兩個算式的意思有一點點不同，但都在解決同一個問題，因此可以畫上等號，所以6×1/3=6÷3。

我們希望兩個算式劃上等號，不只是因為答案相同，而是從不同想法去解決相同的問題，所以，他們是相等的。

有個小朋友，最後剩下的鑽石是兩個1/3盒，我選擇這個例子放上來給大家討論算式記錄。

這跟剩下一個2/3盒有點不一樣，因為那反而可以看見2/3倍是1/3的2倍。所以6顆的2/3倍除了列式為6×2/3之外，也有人提出2/3倍就是1/3倍的2倍，所以可以列式為(6×1/3)×2；既然6×1/3=6÷3，於是又有人提出(6÷3)×2。三種列式，各代表不同思維，學生在開放解題下，不斷從不同角度去思考，並且一直在想還有沒有別種可能，這是讓人熱血沸騰的時刻。

我們不是在等小朋友說出我們要的答案，而是讚賞他們不受限制的解題思維。

能說出2/3倍就是1/3倍的2倍，後面就越來越順了。3/3倍就是1/3倍的3倍，4/3倍就是1/3倍的4倍...，假分數倍也能自然而然列式了。在這張表格上，每一個列式都來自於「倍的語言」，藉此看到「分數倍」的圖像意義，也從遊戲中產生的例子，無論是自己的或是別人的，擴充學生的分數倍經驗，慢慢感受到，「分數倍」其實就是將「被乘數」進行平分，平分出單位分數倍後，就可以解決真分數倍、假分數倍的問題了。

當天的回家作業，是一份形成性評量─「鑽石爭奪戰紀錄加強版」，了解學生對於分數倍轉換成算式紀錄是否都已經沒有問題了，沒想到，有學生居然把所有學到的算法都寫了上去。

從全班例子彙整出來的表格，你發現了什麼數學想法？每人寫下自己看見的、想到的、學到的。那出自於他們產生的珍貴數學思維。

我們把學生的數學想法分成五類，前四類是有數學概念的，最後一類是沒有數學概念，不在討論範圍內。

第一類有10位學生寫出來—「我學到了6×1/3=6÷3」。老師的任務，就是讓學生可以把數學想法升級，在這個數學想法中，只可以知道×1/3=÷3，但如果是×1/6呢？

學生可以從鑽石情境中提出來，也會等於除以6，因為6×1/6是把6顆鑽石拿來分，平分成6份、其中的1份；6÷6則是平分成6等份，每1份的數量。兩個想法雖然有一點不同，但是都在解決相同的問題，因此可以畫上等號。

當學生用文字表示出來的時候，這個數學想法已經從特殊例提升到一般例了，從數學家的語言來說，也就是對於任何整數n，a×1/n=a÷n。當然，我們不是要學生寫出這樣的數學語言，而是可以一般化，但學生能懂得語言。有這樣的想法後，之後碰到分數倍的乘法問題，就可以轉成除以整數。

我們在這裡提升學生說的數學想法，其實，同時也把未來要學的「分數除法—分數除以整數」，要將分數÷m=分數×1/m，可以更快的發現，並且，還能說出為什麼可以轉換成分數乘法來解題。

第二類只有2位學生寫出來，但是其實超過10位學生在「鑽石爭奪戰紀錄加強版」有發現並且使用這個想法，那就是「整數乘以分數」等於「整數乘以分子，分母不變」。

但是，「整數乘以分子，分母不變」是什麼意思？為什麼可以這樣計算？這個問題，我拋回去，請每位學生拿出小白板想一想，寫下來為什麼可以這樣算，我想知道學生的起點，然後為學生把橋搭上去。

學生這樣寫：「四年級教我們分子可以乘，分母不能乘，分母只能一樣的數字。」這個結論到了分數乘以分數的時候，分母突然變成可以乘了，腦袋不就打架了？

還有學生這樣寫：「四年級老師說分母不動，分子動，如果(分子/分母)×(分子/分母)，兩個的分母一樣才能×」如果只是教算則，如果只是從算則去記公式，那麼，一年後，學生大概就會是這樣，想的是分母什麼時候可以動，什麼時候不能動。

為此，我們稍微把四年級的「分數的整數倍」重新整理一下。

師：2/3×6，其中2/3是2個1/3合幾來的，×6是6倍的意思，也就是把2個1/3複製6個一模一樣的，這時候，就會發現1/3不管怎麼複製，都不會變成其他的單位分數，這是為什麼四年級老師說分母不動的原因。至於分子，是數量，是2個1/3，複製了6次，變成2的6倍個，所以會相乘。

其實有學生有想到，但是無法寫得完備，因此，老師需要幫助學生把他的想法說得完備，讓他知道他的想法，可以這樣表達。

師：但是，現在的問題不是2/3×6，而是6×2/3，為什麼也可以用同樣的方法計算？
生：因為可以交換
師：你的意思是說，因為乘法中，被乘數和乘數可以交換，所以6×2/3＝2/3×6＝12/3。
生：對。

學生用分數乘以整數、乘法有交換率的經驗，讓這個數學想法更完備了。不過，其實在這堂課前，他們只有學過「整數」乘法的交換律，還沒有學過「分數」乘法的交換律。乘法的交換律在分數的世界也可以通嗎？這部分，打算下一節課再回來處理。

第三類只有一個人提出來，而且巧合的是，這一天剛好請假，但是內容太值得討論了，因此，我還是拿出來跟全班討論。

8號寫的數學想法是：「一個數字遇到分數，數字會變小」。

我先請全班想想，8號想講的是什麼，能不能從手上的例子去說明它。學生從「鑽石爭奪戰紀錄加強版」找例子，說出了6×2/3=4；6×1/3=2，就是8號說的，一個數字遇到分數，數字會變小。這裡的「遇到」是「乘以」的意思，「數字會變小」是指「6變成4」。

這時，有學生發現這個數學想法不太對，不是所有分數倍，數字都會變小，因此提出修正為「遇到『真』分數，數字會變小」。

學生再補充，遇到假(帶)分數，會變大。當學生提出補充想法時，要學生找例子去佐證這個說法，於是，學生又開始從「鑽石爭奪戰紀錄加強版」找例子，找到了6×6/3=12；6×4/3=8。其實，對於學生來說，應該是先看到手上的例子，然後才提出這個想法，但是，對於老師以及其他學生來說，只看到他提出的這個想法，於是，需要大家一起回去找例子。

到這裡，學生覺得已經完備了。於是，老師又要來搭橋了。

師：除了變小、變大，還有沒有別種可能？
生：不變
師：什麼情況下會不變？
生：乘以整數
師：乘以所有整數都會不變嗎？
生：乘以1
師：只有乘以1，才會不變嗎？
生：是

最後，第四類的數學想法由1位學生提出來—(6×1/3)×2=6×(1/3×2)。

看起來不太起眼的乘法結合律，如果都是整數的話，在三年級就出現了，但是，這時候出現，卻可以做為下一節課─分數乘以分數的舊經驗。讓這位學生上臺說一說，下一節課就會用到了。

整數的分數倍，我們從學生有興趣的「鑽石爭奪戰」開始，以有感的鑽石卡片圖像，讓學生畫圖記錄，並藉由「幾盒」轉換為「幾倍」，再到算式記錄，最後發現「整數乘以分數」的計算方法，希望學生經歷的是一場有感的、有思考的學習歷程。