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有一條長七分之六公尺的彩繩,每七分之二公尺做一個中國結,可以做成多少個中國結?(包含除/分數除以分數)

米缸裡有七又六分之五公斤的米,如果一星期吃掉六分之七公斤,米缸裡的米相當可以吃幾個星期?(當量除/帶分數除以帶分數)

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數學課本就是由一個又一個獨立的問題組合起來,反正情境都是個幌子,括弧裡的才是真的要學的。問題是,這樣的布題寫在黑板上的時候,看不到學生渴望求知的眼神,感受不到想要解決問題的動力。

於是,找尋適合這裡孩子的素材,是一直在思考的點。

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崇德國小是一所太魯閣族的學校。因此,我們改編太魯閣族的傳說故事射日英雄為基底,學生當作傳說故事的主角,把幾個概念布題包裝在故事裡,藉由ppt營造關卡情境,讓學習就好像在傳說故事中解決問題。

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以前在天上有兩個太陽,他們輪流照在地上,當一個太陽下山時,另一個太陽就會升起,因此沒有夜晚,人們無法休息。

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有位勇士(snaw balay/聖老巴萊/真正的男生),決定上山去,將一個太陽射下來。

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有幾個朋友,要來幫助勇士。他們分別是猴子(rungay/瀧乃)、山豬(bowyak/波亞)、占卜鳥一(sisil/希希)、占卜鳥二(sisil/希希利)。

我一邊講故事,一邊跟學生學族語,將每個角色都用族語來稱呼,讓故事更融入在這裡的世界,一個學生熟悉的世界。

走著走著,他們肚子餓了。於是聖老巴萊拿出了一塊大餅,和朋友們一起吃,為了公平起見,大家要吃一樣多,所以需要平分,這時候,遇到第一個數學關卡。

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【關卡1】勇士拿出一塊大餅,平分成五份,每人拿一份,請問每人拿到幾塊大餅?

吃一塊還不夠飽,又吃了兩塊大餅,同樣平分成五份,遇到第二個數學關卡。

【關卡2】勇士拿出三塊大餅,平分成五份,每人拿一份,請問每人拿到幾塊大餅?

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這階段是複習「整數除以整數,以分數表示」,這其實在前一天發現學生不足的地方,需要再布題強化。

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吃完大餅後,勇士開始練箭,結果把箭全部射光了。

聖老巴萊:「誰可以幫我去找竹子,我需要五分之三公尺長的竹子才能做出一支箭。」

於是,四個朋友都去找竹子了。

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不久,第一個朋友─攏乃回來了,帶來了一個竹子,可是這竹子不是剛剛好五分之三公尺,而是一又五分之一公尺長。

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【關卡3】一又五分之一公尺長的竹子,每五分之三公尺做成一支箭,請問可以做出幾支箭?【畫圖說明/算式紀錄/寫答】

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當學生對於一又五分之一感到不知所措時,就適時提供鷹架,可以用分數牆教具,讓他將一及五分之一都換成五分之一來計算。操作足夠的孩子,則讓他試著畫圖來解題。

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在格子小白板上,畫出同樣大小的五分之一,比較不會造成困擾,然後每3個五分之一標示做成一支箭,也能用圖來解決問題。

圖畫再搭配算式,依照題意列式後,再換成假分數,再以整數系統的想法來解題,6個五分之一除以3個五分之一等於2支箭。

接著,第二個朋友─波亞回來了,拿回來的竹子也不是剛好五分之三公尺長,而是兩公尺長的竹子。

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【關卡4】 2公尺長的竹子,每3/5公尺做成一支箭,相當於可以做出幾支箭?

 

在這個關卡,要處理「當量除」的問題,也就是單位數不是整數的「包含除」問題,同時牽涉到兩個單位的轉換,是不容易處理的關卡。

「3/5公尺可以做成一支箭,那麼,1/5公尺呢?」

「0支」

(學生覺得要做就要做一支箭,沒有做一半的)

「1/5公尺的竹子,雖然無法做成完整的一支,但是,可以相當於幾支?」

「1支」

(好吧,老師既然說不是0支,那就算1支吧,「相當於」這三個字還沒有實質意義)

「我們把一支箭畫出來,長度是3/5公尺,也就是3個什麼?」

「1/5公尺」

「現在,我在這3個1/5公尺下面,再畫1個1/5公尺,相當於幾支?」

「1/3支」

「相當於把1支箭平分成3等份,其中的1份,就是1/3支箭。」

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在處理六年級分數除法時,簡直就是三到五年級分數總複習,到目前為止,需要用到好多舊經驗。

包括:
三年級的「單位分量的累加」,3/5公尺不只是1公尺平分成5等份,其中的3等份,這是部分-整體的概念,延伸有限。最慢從三下開始,就要習慣3/5公尺就是3個1/5公尺的概念,讓單位分量變成可以計數的小單位。


四年級的「整數/帶分數換假分數」,要做運算或是發現規律時,就需要轉換成假分數,要知道量感的時候,就需要轉換成帶分數或整數。


四年級的「整數除以整數,用分數表示」,繼「部分-整體」、「單位分量的累加」後,分數的第三種意義,表示兩數相除的結果。


五年級的「分數數線」,以線段來呈現分數,讓分數的運算可以視覺化。

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在學生解題與發表過程時,只要其中一個學生遲疑,就畫一個圖,讓舊經驗可以回到腦袋中。每一步都要小心翼翼,把每一層概念都夯實再走。

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學生接受1/3支箭後,才敢寫下3又3分之1支箭。

畫完圖後,再用算式記錄,將2轉換成10/5,因此10/5除以3/5等於10個1/5除以3個1/5,等於10/3支箭,相當於3又1/3支箭。

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將題目的數字換一下,讓學生試著解解看。

4公尺長的竹子,每3/5公尺做成一支箭,相當於可以做出幾支箭?

原來預期學生會依樣畫葫蘆,將4公尺換成假分數20/5,然後以20/5除以3/5等於20個1/5除以3個1/5,等於20/3支箭,相當於6又2/3支箭,就像是這樣。

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但有兩個小朋友令我驚喜,因為他們還想到了另外一種解決方法。

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延續【關卡4】2公尺長的竹子相當於3又1/3支箭,就直接畫兩段2公尺,因此相當於3又1/3支加上3又1/3支,這個想法出來,有關鍵性的作用,將會讓分數除法的算則更快被找出規律。

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希希是第三個回來的朋友,找到的竹子是1公尺長的竹子。

【關卡5】1公尺長的竹子,每3/5公尺做成1支箭,相當於可以做出幾支箭?

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學生已經習慣,化成同分母進行運算。因此,這一關對他們來說不難。甚至於再多練習幾次,如果找到的竹子是5公尺,相當於可以做成幾支箭。只可惜這裡,沒有人畫出5個1公尺,每個1公尺都相當於5/3支箭,如果畫出來,將會更順利。

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接下來,就要將這幾個算式整理成表格,發現它們的規律性了。

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等號左邊是來自於題目的列式,以大人的話就是,N公尺長的竹子,每3/5公尺做成一支箭,因此列式為N除以3/5。

右邊則來自於畫圖,從1公尺相當於5/3支箭,2公尺則是5/3支箭的2倍,4公尺則是5/3支箭的4倍。再透過乘法的交換率,讓等號兩邊的排列更接近,看看學生能從表格中發現什麼。

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這裡走的路徑是跟課本完全不同。課本的路徑應該算是比較普遍的方式,將異分母化成同分母,然後簡化計算,但是,簡化的過程要看見「顛倒相乘」,就必須透過算式中的交換律,交換的時候已經失去情境,因此顛倒相乘跟原本情境的關聯在哪裡?誰也說不清。在這裡,雖然也有使用到交換律,但是顛倒相乘的情境仍然在,藉由圖解可以觀察到,代表的是1公尺為當量單位的倍數。

 

學生看了一陣子後,有人說出了「顛倒」,發現原本是五分之三,但等號右邊變成了三分之五。

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接著,又有人提出了「換算」,原本是除法,結果變成了乘法。

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雖然學生提出的用詞沒那麼精準,但是意思到了。透過這樣的歷程,學生發現了分數除法可以用顛倒相乘來計算,而顛倒相乘的意義是什麼?就是換當量單位的倍數,當然學生不能說出這樣專有名詞,但是,會比通分成同分母後,又是交換律又是結合律,有點牽拖的看見顛倒相乘更好。

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【關卡6】12/7公尺長的竹子,每3/5公尺做成一支箭,相當於可以做出幾支箭?

 

把被除數換成分數,意思也是一樣的,可以使用1公尺相當於5/3支箭(顛倒),12/7公尺就是顛倒後的12/7倍,因此變成相乘。

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當然,這樣的路徑也有缺點,原本顛倒相乘是簡化通分成同分母後的計算,現在變成了另外一個意義。但,事實上,當量除也是這單元的學習目標之一,只是課本的份量很低,實在很可惜,未來基準量與比較量、比值,甚至於速率都是類似的概念,加以延伸,不只導出顛倒相乘,也為之後的學習奠定基礎,應該是條可以嘗試的路徑。

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【關卡7】 2公尺長的竹子,每3/5公尺做成一支箭,相當於可以做出3又3分之1支箭,也就是幾隻完整的箭,還剩下多少公尺?

【關卡8】 1公尺長的竹子,每3/5公尺做成一支箭,相當於可以做出1又3分之2支箭,也就是幾隻完整的箭,還剩下多少公尺?

這兩關就回頭處理餘數問題。結果,學生可以用畫圖來解決。

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也可以從圖解想出算式來解決問題。

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故事也在這裡要畫下句點,勇士做了足夠的箭,到了靠近太陽的地方,射中了其中一個太陽,從此不再發光,變成了月亮。

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從此,天上只剩下一個太陽。

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而人們,都非常感謝勇士。

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