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質數的定義太抽象,對於小學生來說,真的是定義的莫名其妙,難以理解數學家定義質數之美;初學者在六年級一開始,就要開始找質數,也沒有學習需求,如何啟動孩子的學習開關?

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我們這次嘗試將數學奠基模組中的長方形數,進入五年級因數的課堂中,希望透過遊戲與操作,讓因數、質數都能成為圖像化,真正達到有圖有真相的境界。

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道具是圍棋子。首先,先拿一顆棋子告訴學生,這是一個點點,只是放大了,讓我們比較容易看。

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現在有兩個點點,兩個點點可以連成什麼?一條線。

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三個點點,我把他們這樣擺,也可以連成什麼?一條線。如果把第三個點點換個位置,就可以連成三角形,不過,今天的遊戲是要排長方形或正方形,所以,其他圖形我們先不管他。

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四個點點,我們這樣擺,可以連成什麼?還是一條線。

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換個位置,我們讓點點跟點點之間的距離一樣,這時候就可以排成什麼?正方形。因此我們說,4是一個正方形數,他可以排出一個正方形。

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5是正方形數嗎?五個點點可以排成正方形嗎?或許有學生覺得可以,把點點放到線上,一樣圍成一個正方形。當然,我們肯定學生的想法,不過,這也將會是遊戲的漏洞,這會導致4以上的數字都能排成正方形,就沒有挑戰性了,所以,我們加了一條遊戲規則。

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點點跟前後左右的點點距離都要一樣才可以。第五個點點跟前面和後面的距離是「紅線長」,但是其他點點之間的距離都是「黑線長」,「紅線長」和「黑線長」距離相同嗎?不相同,所以,這樣的排法,在遊戲中是不被接受的。將第五個點點放到別的地方,都無法圍出正方形,所以,5不是正方形數。

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8是不是正方形數?或許學生會圍出這樣的圖形,認為8是一個正方形數。

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但是,我們可以發現第二排的點點,和前後點點的距離跟左右點點的距離是不相同的,根據剛才增加的遊戲規則,這樣是不會允許的,因此,我們可以發現,空心的正方形都是不允許的,因為那一定會有點點跟點點的距離變得很長。

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8雖然不是正方形數,但是可以排成長方形,而且點點跟前後左右的點點距離都一樣。在今天的遊戲中,我們就是要挑戰正方形或長方形,只要能排出來,就可以得分。

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比賽時兩人一組,一組拿到30顆棋子。猜拳後,由獲勝者先出題,從130中選一個數字,讓對手排出正方形或長方形。

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示範者出題8,對方排出來了之後,必須記錄到紀錄紙上。先將8這個數字圈起來,表示目前挑戰的是這個數字,接著將排出來的圖形用算式紀錄下來,每排有4個、總共有2排,因此記錄成4x2,得到一分。

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對手排出一種後,就要把棋子交給出題者,由出題者排排看,如果能排出第二種,那麼,出題者也可以得到一分。

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出題者將剛剛的長方形旋轉了90度,變成了一排有2顆、總共有4排,記錄成2x4,出題者也得到一分。

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這樣顯然不太公平,出題者只是將對手的棋子旋轉90度,從算式來看,也只是把被乘數與乘數互換,就可以獲得一分!為了讓比賽更公平,新增一條遊戲規則,旋轉90度會相同的,也就是把對方的被乘數與乘數互換而已,這樣是無法得分的,因此在這場比賽中,4x2已經排出來了,2x4就無法得分了。

規則說明完畢,各自開始比賽。

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關於「排的技術」,可以視情況全班一起說,或是一組一組提示。

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在排24這個數字時,我們可以把棋子兩個兩個一排,排排看,最後會不會剛好排完,如果會,那就可以獲得一分。

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兩個、兩個一排排完之後,棋子不要弄亂,再試試三個、三個一排。

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三個、三個一排也剛好排完,那太好了,也可以得分。接著,再試試四個、四個一排,依照順序去試,就不會漏掉。

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五個、五個一排,結果剩下4顆棋子,代表5不行,別氣餒,再試試下一個數字─6

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六個、六個一排,結果又剛好排完,太好了!只可惜,6x4和剛才的4x6是交換關係,所以無法得分。這時候,若學生發現,已經不用在往下找了,那就太棒了,這可以類化到找因數時,看見黃金交叉時,就可以停止了。

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當然,若學生仍然看不出來,就繼續七個、七個一排,接著八個、八個一排,又回到8x3,還需要再九個、九個一排嗎?

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玩著玩著,會有人發現,其實不需要排,可以用算的,那麼,就能請他分享如何用算的。

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通常學生會回答用九九乘法表,但是,有些是不在九九乘法表內的,比如2乘以多少才會等於30,這時候,就可以利用乘除互逆,將30除以2得到15。後面再加個餘數為0,讓學生發現,這些可以排成長方形或正方形的算式,餘數都是0,此時就帶入數學名詞─整除。

一節課玩不完,有些學生下課會繼續挑戰,慢慢就把130的所有可能全部找出來,就算找不完,也沒有關係,先讓遊戲結束,計算彼此得分,可鼓勵得高分的學生,再鼓勵對手得低分的學生,因為,有可能他都找到排不出正方形或長方形的數字!

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最後,我們來找出獲勝秘訣吧!看看這張計分單中,哪些數字會讓對手得不到分?一一找出打叉的數字,並用黃筆圈起來。有些數字,雖然會讓對手得一分,但是自己也能得到一分,就像是綠色圈起來的數字,總共有兩分價值的數字。我們把這些數字分類,總共有相同分數價值的數字就擺在一類。

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在遊戲中,如果你遇到對方出總分是0分的數時,你的心情是什麼?你的感覺是什麼?為這些數字取個名字。同樣的,總分是1分的、2分的,都試試為它們取名。

一開始,學生只有鴨蛋數、零零數,這種跟「0」這個數字相關的名稱,和遊戲內容與棋子排列本質扯不上關係。後來,再慢慢引導與鼓勵後,有學生提出「討厭數」,詢問為什麼?學生說,「怎麼拚都拼不出來很討厭」。哇!我就開始興奮了起來,總算從遊戲經驗去命名了。

「搞笑數」,因為拚了很久才發現,原來是拚不出來的,很搞笑。

「勝利數」,因為出這個數字就會勝利。

「不算數」,因為(沒有人會得分)不會算分數。

慢慢有了學生的「創作」產生,我喜歡學生在課堂上有思考,有自己的想法,有自己的創作產生。在這堂課的後面慢慢發酵了。

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那麼總共得1分的數請取個名字。

「搶分數」,因為只有一種方式可以得分,所以要用搶的。

「單獲數」,只有一個人可以獲得分數。

總共得2分的數請取個名字。

「平分數」,因為一人得一分。

「公平數」,因為每個人都可以得一分,所以很公平。

總共得3分的數請取個名字。

「危險數」,很危險,可能一下就輸給人家很多。

「強奪數」,搶了我好多分。

「快樂數」,我一次可以得很多分。

瞧!創造力的出現,讓人很驚喜。

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最後,讓小朋友知道數學家的命名。可以排成長方形或正方形的數字,數學家統統稱為「合數」,這些至少都有一分的價值。

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至於只能排成一條線的,沒有得分價值,則稱為「質數」。

至於1,連一條線都排不出來,因此數學家稱他「既不是質數,也不是合數」。

「我覺得我們取的名字比較好,數學家取的名字沒有我們有創意」

哈哈哈哈,是啊,數學課不只是建築知識,同時也是建築孩子的自信心,你可以比數學家還棒!而質數和合數都成為了看得到、操作得出來的數學名詞,而不是抽象的概念了。

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接著,觀察這些質數,雖然不能像那些可以得分的數,寫成2x43x5之類的,但是就算只能排出一條線,也能寫出算式吧?2可以寫成1x23可以寫成1x35可以寫成1x5……

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像這樣,一個數可以分解成兩個數字相乘時,這兩個數字,數學家就稱他們是原本數字的「因數」。因此1的因數有12的因數有12…。觀察質數的因數,你發現了什麼?

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個別解題,每個人寫下自己的發現。

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雖然全班只有13人,也能寫出很多種發現,經過歸納後,將學生的發現透過討論與發表,進行全班澄清與語句的精準化。

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發現一:「有規律性」

 

有三個學生這樣寫,雖然不是預設的學習目標,但是,第一次嘗試寫下發現,小朋友猶豫很久,還會不斷跟老師確認,想知道這個答案是不是老師要的。

我不是要你寫「我要的答案」,我是要你寫「你的發現」,「你的發現」可以很多,也可以來自任何想法,都沒有標準答案,那是提供大家可以一起學習的想法。如果這個發現是錯誤的,那也會讓大家學到,原來這是個錯誤的發現,有什麼環節是我沒有想到的。學習錯誤的發現,也是件很重要的事情。

「有規律性」是個很好的發現,更進一步的,能不能再發現有什麼樣的規律性?

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發現二:都是乘出來的

的確,在描述一條線的時候,我們都用乘法來表示。然後才將這些相乘的數,稱為是它的因數。

這也是個好發現。

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發現三:因數是用乘算出來的

老師:「像這樣可以拆解成兩個整數相乘的時候,這兩個整數就是它的因數。」

結果學生寫出的發現:「因數是用乘算出來的。」

雖然是循環關係,不過,對於初步寫想法的學生來說,任何一個想法,都是有價值的想法,可以給予鼓勵。

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發現四:都是一條線

老師:像這樣只能排成一條線的數,我們就叫做質數。

學生:我發現質數都是一條線。

等待好的想法,是需要有耐心的,即使是循環關係,仍然鼓勵孩子發表。

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發現五:每一個都有1出現。

這已經有碰到邊了,其實再引導一下,就會有很漂亮的發現。

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發現六:我發現了因數都有1,不管是什麼因數都會有1

漂亮!我們慢慢從圖像的定義進入到數學定義了。而這個發現,在合數的時候,還可以讓學生再確認一次。

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發現七:只要是1都是自己

這個發現其實不太清楚要表達的是什麼,連學生也說不出來,不過,任何一個想法都是好的,因為有可能幫助大家引導到更完整的想法出現。

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發現八:1x1還是11x2還是21x3還是31x5還是51x7還是7

這個學生的「還是」是個關鍵,將1的乘法性質,用「還是」呈現,貼切又貼近大家。

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發現九:1x1=自己;1x2=自己;1x3=自己;1x5=自己;1x7=自己

這裡把「自己」這個詞放進來,又更進一步了!因此,請他出來分享,追問這算式的意思就是5的因數有什麼?

5

7的因數有

7

11的因數有

11

285的因數有

285

9523的因數有

9523

於是歸納出來

質數的因數都是1和自己。

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那麼,合數呢?我們觀察合數,除了剛剛可以得分的那些數字外,是不是也都可以排成一條線?排成一條線時,如何用乘法表示?於是,補上了每個合數的兩個因數。

從合數的因數,又可以發現什麼?

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發現一:合數乘的很多,質數乘的少,2個。

要寫出完整意思的句子,似乎仍然有點困難,但是可以看到他們的發現與意思。

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發現二:合數最少3個,質數的因數都只有2

雖然句子也不完整,但是合數的因數個數有3個以上,這件事情由學生發現,就是件令人振奮的事情。同時,也發現質數的因數個數都只有2個。

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發現三:合數的因數最多有8個。

雖然是錯誤命題,但是也是個很好的論證例子,因為舉例的是1分數、2分數、3分數,最大的是3分數,比如說是24,因數個數除了2x123x84x6,還有剛剛發現都會有124,總共加起來只有8個因數,所以認為因數最多是8個。不過,可以讓學生再去找找看,會不會有超過8個因數的數字,找到一例去反證,也或許可以留到學過倍數後再回來看看。

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透過這個奠基模組,我們經歷了因數的具體象徵,窮盡因數的方法,也看見了質數與合數的圖像,然後回到抽象的定義,希望透過這樣的過程,讓學生不只是玩得開心,也能學得豐富。

活動改編自數學奠基模組─長方形數(林福來教授)。

改編者:花蓮縣崇德國小朱志青

教學者:花蓮縣崇德國小嘎啷

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