教學年段：三年級下學期
教學單元：三、分數
教學節數：6
教學日期：103年3月10日至3月17日
第一節
教學日期：3月10日（一）
教學主題：認識真分數的意義
教學目標：從連續量認識真分數的意義。
教學設計：田娟娟、朱志青
教學者：田娟娟
觀察員：朱志青
教材分析：
1.三年級上學期學過「分數」，學生已經有等分連續量的經驗；並且藉由連續量以及離散量認識單位分數；辯證序列迷思、整體量改變、平分線改變以及部分和整體的「單位」不同辯證。
2.從單位分數延伸到真分數的認識。一開始，以「什麼被分」、「怎麼分」、「取幾等分」複習分數的意義，再從單位分數延伸到真分數。
3.真分數的意義包括「部分—整體的關係」以及「單位分數的累加」。課本從「部分—整體的關係」引入真分數，然後宣告真分數是「單位分數的累加」。教材處理兩種意義的方式，常常是以兩個小孩的對話直接說出，不過，本課程設計上，偏向於提供學生情境，讓學生從情境中，察覺分數兩種意義的存在，而不是直接灌輸。
4.本課程設計的目標，是期望這兩種意義都能由學生在情境中察覺，老師進行歸納。
5.為了幫助學生認識真分數的意義，讓他們對於容易接受的「圖象表徵」和抽象的「符號表徵」做足夠的連結，因此，教學設計讓學生多多將分數「畫」出來。由於圓形較為難畫及等分，因此布題讓學生不一定要畫圓形，學生也可以用長方形將分數畫出來。
6.「1個圓」較容易看出什麼被分，但「1個長方形」被分割後，容易被看成數個小長方形。因此在描述「什麼被分」時，須比出整體1的位置。
座位安排：全班分成6組，第1、2、5、6組為5人，其他組都是4人。
【布題一】校慶球類競賽開始了，學校將一個籃球場分成六等分，讓三年級的六個班級可以休息，三年六班的休息區有六分之一個籃球場大小，請用圖畫及分數表示出來。
原本的設計，是要讓學生用「畫圖」來表示六分之一，不過，當天教學者臨時更改方式，讓學生用「摺」的，摺出六分之一張紙，然後標示出六分之一個籃球場大小，也就是三年六班休息區。
大多數的學生都習慣對摺再對摺，要摺出二分之一或是四分之一都沒有困難，不過，要摺出三等分，就遇到困難了。1A、1D都是摺出八分之一，然後就停了許久，不知道如何摺出六分之一。1E、2A、3B、4B、6A等五人，則是測量紙張的邊長，然後除以6。
在這段時間內，學生的困難是小數除法或是摺三等分，而不是不知道分數的意義。不過，摺紙的活動，讓學生躍躍欲試，對於投入課程很有興趣。
老師要各組交一份六分之一個籃球場，並且詢問為何交這個，或是為何不交這個，並且詢問其他同學是否認同這樣的說法，互動良好。
在問答時，老師透過「什麼被分」（整體量/1個籃球場）、「怎麼分」（分母/平分成6等分）、「取幾等分」（分子/其中1份）複習分數的意義，並將三個問題與分數表徵做連結，幫助學生能自己表徵出真分數。
除了正確的分法之外，也提出幾個錯誤但是很有意思的做法。5C將紙張分成八等分之後，其中六份用筆描出大小，多出來的兩份就直接不管它，然後將其中一份標示出來。當然，全班都不認為這樣可以算六分之一個籃球場。
【布題二】第一輪躲避球賽結束，有三個班級因為輸球被淘汰，離開了休息區。三年六班的休息區多了六分之一個籃球場。請在剛剛的圖畫中畫出來，並且用分數表示。
2B、5C、6A直接說是六分之二個籃球場，許多學生也很快就說出是六分之二個籃球場。老師讓小組進行討論，並且寫出一個理由。
六組中，有三組（1、3、4）都屬於「部分-整體」的想法。
第1組：因為六分之一是6份的其中1份，六分之二是6份的其中2份。
第3組：因為五班被打跑了，所以我們佔了2個位置，所以是六分之二。
第4組：因為1班本來有六分之一塊，5班沒了，所以6班多了1塊，等於六分之二。
第6組：因為籃球場被分成六份，本來每一個班各有六分之一個籃球場，現在五班走了，變成我們班的，所以我們班有六分之二個籃球場。第6組只有描述狀況，看不出原因。
有2組（2、5）則是以六分之一加六分之一等於六分之二的理由。原本以為這一類會說出六分之二是2個六分之一合起來的，但是在老師提問時，學生並沒有說出這樣的想法，而是直接以算式來解釋現象。
此時，第6組的學生6C提出了疑問，六分之一加六分之一不是十二分之二嗎？原本要在第4節課澄清分數加法的問題，居然提前在第1節出現！這倒出乎意料之外，由於此時已經敲過放學鐘聲，為了避免延誤放學時間，因此課程暫停在這裡。第一節課，成功帶出了「部分-整體」的真分數意義，但是「單位分數的累加」尚未出現。
第二節
教學日期：3月11日（二）
教學主題：分數數詞序列
教學目標：
1.透過單位分數的累加，建立分數數詞序列。
2.知道真分數是單位分數的累加，並能以不同的圖象表徵表示出同一個真分數。
教學設計：田娟娟、朱志青
教學者：田娟娟
觀察員：朱志青
教材分析：
1.課本以長條圖的並列呈現出數詞序列。但是以長條圖進行「單位分數」的累加時，必須將完整的1保留，否則容易誤以為小單位為1，而進行「整數」的累加。且在觀察或畫圖時，容易受到一格一格的干擾，看不見「單位分數」的存在。
2.圓形分數板較容易保留「1個圓」的形象，且不須浪費時間在學生畫圖上，上面還呈現「單位分數」，可將「單位分數」和「真分數」做連結。
3.透過數詞序列，強化學生「真分數是單位分數的累加」之觀念。
4.進行連續量的離散化，讓學生能以不同的圖象表徵表示出同一個真分數。為了讓學生看到更多不同的例子，讓小組試著互相分享，互相肯定。
5.經歷10個十分之一合成十分之十個圓，聚成1個完整的圓。
【任務一】每組有1個圓形板、數個十分之一圓，請各組貼出十分之一圓。
原本課程設計時，以現有廠商提供的教具—圓形分數板讓學生操作，加上附帶的10個十分之一讓學生去拼湊，不過，總共只有6套教具，因此，原本預定一組操作一套即可。不過，娟娟老師為了讓每個學生都能操作到，透過自己的手、眼，進而發現「真分數是單位分數的累加」的意義，因此印了30個已經10等分的圓，還用粉紅色A4紙張，剪出三百多個十分之一圓。讓每個人都有1個圓形板、10個十分之一圓，並自己在每一片上寫出十分之一圓。
【任務二】在圓形板上，再貼1個十分之一圓。現在是幾個圓？
老師：「這是1個圓，平分成10片。1片應該怎麼稱呼？」
學生：「十分之一個圓。」
老師：「將1個十分之一圓放上去，然後再放上1個十分之一圓，現在是幾個圓？」
學生：「十分之二個圓。」
老師：「為什麼？」
5C：「因為有2個十分之一圓。」
1E：「全部有10片，其中的2片。」
真分數的兩種意義，在這活動中，都由學生說出來了，老師顯然很滿意。多數的學生都將2個十分之一圓放在一起，只有兩位學生（1C、5D）將2個十分之一圓分開來放。要澄清連續量離散化的真分數，已經有些跡象，不過，還不夠多人排出分散的圖形，因此，老師並沒有馬上進行澄清。
【任務三】在圓形板上，再貼1個十分之一圓。現在是幾個圓？
老師：「現在有幾個圓？」
學生：「十分之三個圓」
老師：「為什麼？」
2E：「十分之二加十分之一等於十分之三。」
老師：「十分之二是怎麼來的？」
2E：「十分之一加十分之一等於十分之二。」
老師：「你的意思是說十分之一加十分之一加十分之一等於十分之三，你們贊同嗎？」
黑板上除了算式還有圓形分數板，從圖卡看起來，似乎沒有什麼問題，多數學生表示贊成，不過有三位學生似乎並不這麼認同。
4C搖搖頭。4A、6C有點懷疑的樣子。
老師將3個十分之一圓形分數板放在算式下面，詢問學生這樣是不是十分之三？
學生回答「是」，並說出因為這是3個十分之一，這時再一次詢問學生是否贊成算式，學生都舉手贊成。
下課時，為了瞭解學生是否真的從圖卡看出分數加法的意義，觀察員還特別詢問了一些學生，請學生寫出七分之一加七分之一等於多少，都正確寫出七分之二。老師在進行真分數意義的教學時，意外的也處理了分數的加法，不過，這是在圓形分數板的情境中，長條圖形是否也能正確寫出分數的加法，還是出現分母加分母、分子加分子的計算方式？留待第四節探討。
【任務四】十分之三個圓是不是只有一種排法？
老師請學生排出不同形狀的十分之三。
許多學生排出了離散化的連續量，老師舉了其中一位學生的例子，詢問大家，這樣算不算十分之三個圓？
5B：「沒有連在一起，就不完整了，所以不是十分之三。」
1B：「雖然是不完整，但是大小是一樣的，所以還是有十分之三個圓。」
6A、6C：「不能用位置去判斷，要看它占的大小。」
透過老師對於全班學生的引導，學生在課堂上進行辯思，互相以理由去辯證，最後歸納出結論。
【任務五】請貼上10個十分之一個圓，並寫下這是幾個圓？
老師：「你現在手上還有幾個圓？」
5E：「十分之七個圓。」
老師：「請把剩下的都擺上去，現在擺了幾個十分之一個圓？」
學生：「10個。」
老師：「那麼，現在桌上是幾個圓，請寫下來。」
28位學生中，12個人寫「1個圓」，9個人寫「十分之十個圓」，5個兩個答案都寫，2人寫「十分之一加十分之一加十分之一加十分之一加十分之一加十分之一加十分之一加十分之一加十分之一加十分之一等於十分之十」
老師讓三種答案都說一說，並且歸納在黑板上，學生藉此活動經歷了十分之時聚成1的歷程，知道十分之十和1是一樣大的。
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